Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 244)
Cuaderno XI (páginas 1465 a 1470)
(Hoy continuamos con Galois y tratamos de fundamentar la lógica de nuestro PAU)
El grupo de permutaciones analizado en el capítulo anterior tiene tres propiedades:
1) Contiene una permutación 'identidad' única.
2) Junto a las permutaciones de vértices A y B (donde no se excluye la igualdad A = B), contiene su producto: A*B.
3) Junto con cada permutación A, el conjunto de permutaciones contiene la permutación inversa A⁻ⁱ.
Galois, llama a cualquier conjunto de permutaciones que satisfagan las condiciones 1), 2) y 3), un 'grupo' de permutaciones.
{Si en la propiedad 2), al producto lo tomamos como sinónimo de 'operación de transformación', que en nuestro caso es XOR (⊕), nuestro planteo constituye un grupo de Galois. Veamos:
Más que 'tabla producto', la llamaremos 'tabla operación'. La intersección fila/columna (y viceversa) representa el resultado de la operación XOR. Cumple con 2), pues el 'producto' de la operación, está dentro del grupo de elementos básicos (⊽0, S1, O2 y V3).
Hecho el producto entre agrupaciones de 3 tripletes:
SVO ⊕ VOS = OSV; según el mismo principio, el resultado sigue estando en el grupo G.}
Para que se cumpla 3) debe incluir las permutaciones por reflexión, además de las de rotación (OVS, SOV, VSO), si por 'opuesta' se entiende la reflexión de cada permutación, ya que cada permutación (Dx) tiene su correspondiente 'imagen en espejo' Lv.
Geometría de la lógica:
Una forma de expresar lo anterior es a través de los 'espejos mágicos' (figura superior). Otra forma (y adelantándonos un poco) es mediante el 'Plano de Fano' (Gino Fano, 1892), que en geometría finita, define el plano proyectivo con menor número de puntos y líneas (7). {podríamos extenderlo a 8 puntos, ya que el 0, como muestra la figura inferior, no se ve, y esto dará lugar al 'Plano Anti-Fano' (o de Salatino), que es su complementario}
La nomenclatura de cada nodo (cada triplete) representa la cantidad de líneas que intervienen en su formación (que pueden ser hasta 3); o para ponerlo mejor: qué vértice del triángulo representan, o qué base de ese triángulo (que hay 3).
Así, los 3 vértices son: el superior representado por 001, el izquierdo por 010 y el derecho por 100; y sus lados: el derecho por 101, que es la 'suma' de los vértices superior (001) y derecho (100) (001⊕100 = 101); el lado izquierdo (011), que es la 'suma' de sus dos vértices constituyentes (010⊕100 = 110). El nodo central es la 'suma' de todos los vértices: 001⊕010⊕100 = 111. El esquema se adapta perfectamente a nuestra lógica, tanto transcursiva como la que se aplica al código de colores, y por tanto, puede ser expresado por el esquema de nuestro PAU, ya que son absolutamente equivalentes (figura)
Los tres esquemas anteriores son lo mismo, y representan íntegramente nuestro sistema.
Veamos cómo funcionan, comenzando por el 'Plano de Fano' (modificado) (a): desde ya, sus elementos constituyen un 'grupo de orden finito', y por tanto (por definición) su estructura está ligada por una 'ley de combinación' (como la llama Hilton (1908)), o como la hemos caracterizado nosotros: una 'operación de transformación' que nos da el elemento producto o resultante de la combinación de dos elementos, y que necesariamente, debe ser un elemento del 'grupo'. Así, en (a) comprobamos que:
001⊕101 = 100(*); 101⊕100 = 001; 100⊕110 = 010(*); 110⊕010 = 100; 010⊕011 = 001(*); 011⊕001 = 010. (*) = vértices sucesivos que se transforman en un 'grupo cíclico' (en este caso dextrógiro), ya que se llega a 001, que es desde donde partimos. También es posible, ya que además es un 'grupo abeliano' (conmutativo), ir en sentido contrario (levógiro). Esto se denomina reflexión (imagen en espejo) (los espejos mágicos: (001)(100)(010)∣(010)(100)(001).
El mismo principio se cumple a nivel del círculo central que, tanto hacia la derecha, como hacia la izquierda, es posible girar, aplicando ⊕ a 2 de los 3 elementos: 101⊕110 = 011; 110⊕011 = 101; 011⊕101 = 110.
Por último, a nivel de las distintas alturas del triángulo (los segmentos que unen cada vértice con la mitad del lado opuesto = la bisectriz del ángulo de 120º de cada vértice), se vuelve a repetir, en cada uno, el mismo fenómeno. Además se cumple una regla de fundamental importancia: "la 'suma' de los extremos de cada altura, da el valor central, que puede considerárselo así, como la 'unidad' (necesaria en la definición de grupo).
Análisis geométrico de la lógica de nuestro PAU (reinterpretación del Plano de Fano - definición de la simetría complementaria, lo que completa los 'espejos mágicos'):
Para reinterpretar el Plano de Fano es necesario disponer su geometría de una forma distinta. Básicamente, es una disposición que permite ver con mayor detalle el nodo central (el que asienta en el centro geométrico del triángulo). Es como si ampliáramos varias veces ese punto, y nos permitiera ver su verdadera composición.
Para ello, aunque parezca, no hemos modificado en absoluto (en el sentido topológico) las relaciones lógicas de su geometría; solo hemos hecho uso de las formas homeomorfas, que sableemos, por topología, que son equivalentes.
El mismo Plano de Fano es un ejemplo brillante de este concepto, ya que el círculo inscrito en el triángulo, es un equivalente topológico de éste; por esa razón, cuando se emplea la misma operación de transformación en ambos, se puede 'viajar' por cada uno de sus puntos, sucesivamente. Haciendo uso de este principio constructivo, que animó a Ciro Fano, hemos inscrito, en vez de un círculo, un trifolio, que es homeomorfo del círculo, y por tanto, del triángulo.
Esta disposición, entonces, en nada modifica el plano proyectivo original, y en cambio, nos permite 'ver' lo 'oculto'. En el centro (nodo 111) hay, en realidad, otro triángulo inscrito, que surge de la intersección de las 3 hojas del trifolio. Esto posibilita ver, porqué decíamos que el plano proyectivo mínimo está constituido por 8 puntos y 7 líneas. El octavo punto es el 000, que en el plano original no se ve (está oculto). Por otro lado, porque nos muestra la 'apariencia' de la proyección; nos dice, esta disposición, que el centro no es único, sino que está compuesto, a su vez, por 3 puntos, y por otro lado, que el sentido de giro del trifolio (círculo), en realidad, es en sentido contrario (levógiro) al del triángulo dextrógiro externo.
Al transformar el círculo inscrito original, en un trifolio, queda como centro geométrico del triángulo, no un punto, sino dos triángulos superpuestos: uno equilátero anterior (blanco) que aloja el valor central: 111; y uno posterior (negro), que aloja el valor central: 000 (circulo - oculto). Los vértices del triángulo interior se origina según muestran las transformaciones homeomorfas de la figura adjunta.
Dado que trabajaremos con valores complementarios, y debemos producir un sentido de giro Lv, necesariamente, la operación de transformación que tenemos que utilizar, es la inversa de la utilizada hasta ahora, es decir,
≣ (equivalencia), cuya tabla de verdad está en la esquina superior derecha de la figura adjunta. Vemos en ella, también, como se obtienen los vértices de los respectivos complementarios. De esta manera se sigue conservando el valor central (superficial o aparente) = 111 (001⊕100⊕010 = 111).
Los vértices del triángulo curvo (negro) son los complementarios, hacia donde 'apunta' el trayecto respectivo del trifolio. Entonces: 011⊕101⊕110 = 000, que es el valor central profundo u oculto, del ciclo complementario.
Repasemos el funcionamiento lógico del Plano de Fano original: la operación de transformación es XOR(⊕). La aplicación de ⊕ a dos vértices sucesivos, permite obtener el siguiente, produciéndose un 'giro' en sentido dextrógiro (Dx), como se ve en la figura adjunta.
Esto equivale a decir que, la operación entre vértices que definen un lado del triángulo, da como resultado el valor medio (ver figura).
Por otra parte, la operación aplicada a un vértice y al valor central (111), da el valor extremo del eje de simetría correspondiente (segundos puntos medios de la figura). Los puntea extremos de los ejes de simetría son complementarios (uno es la negación del otro, y viceversa), por lo cual, ⊕ aplicada a ellos, nos da el valor central (la unidad) (parte baja de la figura). También da el valor central (111) ⊕ aplicada a los 3 vértices (001⊕100⊕010 = 111) y a los tres puntos medios (011⊕101⊕110 = 111); lo cual da la pauta que los valores medios (complementarios) tienen un comportamiento 'opuesto'. No obstante ello, su comportamiento 'aparente' es coherente:
Podemos ver en la figura adjunta, la obtención de los valores medios del círculo inscrito (ciclo Dx) (parte alta de la figura).
Finalmente, la 'aparente' coherencia del sistema se corrobora, si aplicamos ⊕ a todos los valores, ya que no daría la unidad (111) (ver figura).
El comportamiento de los valores complementarios de los vértices, que como vemos, es opuesto al resto, nos animó a hacer una propuesta que explicara este comportamiento, y la premisa fundamental, en este sentido, fue el proponer la existencia, en realidad, de 8 valores y no 7 como lo presenta el plano proyectivo mínimo. Este octavo valor es el 0, que por estar 'oculto', no se hace evidente, como no sea a través de un comportamiento 'anómalo' del grupo.
Para fundamentar la hipótesis es que se le hacen, al esquema tradicional, las adaptaciones topológicas ya señaladas, pero que insistimos, en nada modifican desde lo formal, el espíritu del planteo. El surgir de esta pequeña 'incoherencia' da la posibilidad, haciendo uso estricto de las reglas propuestas para la definición de grupo (dadas en el capítulo 1 de la Tesis), de mostrar que en realidad, el funcionamiento de este grupo de valores es absolutamente coherente, pero a condición de aceptar, como demostraremos, que es un grupo complejo, con un aspecto superficial (el mostrado por el desarrollo tradicional), y un aspecto profundo (oculto), que posibilita explicar la presencia de relaciones 'complejas' (de oposición, de complementariedad, y de concurrencia) entre los elementos constitutivos del grupo.
Veamos el funcionamiento lógico de nuestra propuesta:
Las operaciones 'superficiales' se realizan de la misma manera (Dx) que en el sistema tradicional, tomando como valor central (unidad) = 111 (triángulo blanco), ya que la composición con ⊕ de sus vértices, da ese valor. (ver figura)
Las operaciones profundas (ocultas) cambian, primero, en que la operación de transformación es la ≣ (equivalencia) (opuesta a ⊕); y que el valor central es tomado bajo dos aspectos: a) como la unidad 000, que surge de aplicar ≣ a los valores de intersección del trifolio (círculo central) con el triángulo blanco (ver figura), y b) parcialmente, cada valor de intersección por separado, con los respectivos pares de valores complementarios.
Realizemos esas transformaciones profundas, tomando el valor central, como unidad (000):
Tomando el valor central discriminado:
(*) valor del vértice superficial que relaciona los extremos complementarios considerados. Sentido de giro: Lv.
Siguiendo las operaciones de la figura adjunta, finalmente se llega a la unidad = 0000.
Finalmente, como corolario:
Se debe decir que estos ciclos independientes: superficial y profundo, cumplen con las premisas de un sistema complejo, pues, además de ser opuestos y complementarios, son concurrentes (simultáneos), por tanto, el funcionamiento real sería como lo muestra la figura adjunta.
Con esto último queda definido el segundo aspecto de simetría planteado por este sistema: el complementario, quedando de esta manera completo, el fundamento de los 'espejos mágicos'.
[continuará ... }
¡Nos vemos mañana!
(Hoy continuamos con Galois y tratamos de fundamentar la lógica de nuestro PAU)
El grupo de permutaciones analizado en el capítulo anterior tiene tres propiedades:
1) Contiene una permutación 'identidad' única.
2) Junto a las permutaciones de vértices A y B (donde no se excluye la igualdad A = B), contiene su producto: A*B.
3) Junto con cada permutación A, el conjunto de permutaciones contiene la permutación inversa A⁻ⁱ.
Galois, llama a cualquier conjunto de permutaciones que satisfagan las condiciones 1), 2) y 3), un 'grupo' de permutaciones.
{Si en la propiedad 2), al producto lo tomamos como sinónimo de 'operación de transformación', que en nuestro caso es XOR (⊕), nuestro planteo constituye un grupo de Galois. Veamos:
Hecho el producto entre agrupaciones de 3 tripletes:
SVO ⊕ VOS = OSV; según el mismo principio, el resultado sigue estando en el grupo G.}
Para que se cumpla 3) debe incluir las permutaciones por reflexión, además de las de rotación (OVS, SOV, VSO), si por 'opuesta' se entiende la reflexión de cada permutación, ya que cada permutación (Dx) tiene su correspondiente 'imagen en espejo' Lv.
Geometría de la lógica:
La nomenclatura de cada nodo (cada triplete) representa la cantidad de líneas que intervienen en su formación (que pueden ser hasta 3); o para ponerlo mejor: qué vértice del triángulo representan, o qué base de ese triángulo (que hay 3).
Así, los 3 vértices son: el superior representado por 001, el izquierdo por 010 y el derecho por 100; y sus lados: el derecho por 101, que es la 'suma' de los vértices superior (001) y derecho (100) (001⊕100 = 101); el lado izquierdo (011), que es la 'suma' de sus dos vértices constituyentes (010⊕100 = 110). El nodo central es la 'suma' de todos los vértices: 001⊕010⊕100 = 111. El esquema se adapta perfectamente a nuestra lógica, tanto transcursiva como la que se aplica al código de colores, y por tanto, puede ser expresado por el esquema de nuestro PAU, ya que son absolutamente equivalentes (figura)
Los tres esquemas anteriores son lo mismo, y representan íntegramente nuestro sistema.
Veamos cómo funcionan, comenzando por el 'Plano de Fano' (modificado) (a): desde ya, sus elementos constituyen un 'grupo de orden finito', y por tanto (por definición) su estructura está ligada por una 'ley de combinación' (como la llama Hilton (1908)), o como la hemos caracterizado nosotros: una 'operación de transformación' que nos da el elemento producto o resultante de la combinación de dos elementos, y que necesariamente, debe ser un elemento del 'grupo'. Así, en (a) comprobamos que:
001⊕101 = 100(*); 101⊕100 = 001; 100⊕110 = 010(*); 110⊕010 = 100; 010⊕011 = 001(*); 011⊕001 = 010. (*) = vértices sucesivos que se transforman en un 'grupo cíclico' (en este caso dextrógiro), ya que se llega a 001, que es desde donde partimos. También es posible, ya que además es un 'grupo abeliano' (conmutativo), ir en sentido contrario (levógiro). Esto se denomina reflexión (imagen en espejo) (los espejos mágicos: (001)(100)(010)∣(010)(100)(001).
El mismo principio se cumple a nivel del círculo central que, tanto hacia la derecha, como hacia la izquierda, es posible girar, aplicando ⊕ a 2 de los 3 elementos: 101⊕110 = 011; 110⊕011 = 101; 011⊕101 = 110.
Por último, a nivel de las distintas alturas del triángulo (los segmentos que unen cada vértice con la mitad del lado opuesto = la bisectriz del ángulo de 120º de cada vértice), se vuelve a repetir, en cada uno, el mismo fenómeno. Además se cumple una regla de fundamental importancia: "la 'suma' de los extremos de cada altura, da el valor central, que puede considerárselo así, como la 'unidad' (necesaria en la definición de grupo).
Análisis geométrico de la lógica de nuestro PAU (reinterpretación del Plano de Fano - definición de la simetría complementaria, lo que completa los 'espejos mágicos'):
Para ello, aunque parezca, no hemos modificado en absoluto (en el sentido topológico) las relaciones lógicas de su geometría; solo hemos hecho uso de las formas homeomorfas, que sableemos, por topología, que son equivalentes.
El mismo Plano de Fano es un ejemplo brillante de este concepto, ya que el círculo inscrito en el triángulo, es un equivalente topológico de éste; por esa razón, cuando se emplea la misma operación de transformación en ambos, se puede 'viajar' por cada uno de sus puntos, sucesivamente. Haciendo uso de este principio constructivo, que animó a Ciro Fano, hemos inscrito, en vez de un círculo, un trifolio, que es homeomorfo del círculo, y por tanto, del triángulo.
Esta disposición, entonces, en nada modifica el plano proyectivo original, y en cambio, nos permite 'ver' lo 'oculto'. En el centro (nodo 111) hay, en realidad, otro triángulo inscrito, que surge de la intersección de las 3 hojas del trifolio. Esto posibilita ver, porqué decíamos que el plano proyectivo mínimo está constituido por 8 puntos y 7 líneas. El octavo punto es el 000, que en el plano original no se ve (está oculto). Por otro lado, porque nos muestra la 'apariencia' de la proyección; nos dice, esta disposición, que el centro no es único, sino que está compuesto, a su vez, por 3 puntos, y por otro lado, que el sentido de giro del trifolio (círculo), en realidad, es en sentido contrario (levógiro) al del triángulo dextrógiro externo.
≣ (equivalencia), cuya tabla de verdad está en la esquina superior derecha de la figura adjunta. Vemos en ella, también, como se obtienen los vértices de los respectivos complementarios. De esta manera se sigue conservando el valor central (superficial o aparente) = 111 (001⊕100⊕010 = 111).
Los vértices del triángulo curvo (negro) son los complementarios, hacia donde 'apunta' el trayecto respectivo del trifolio. Entonces: 011⊕101⊕110 = 000, que es el valor central profundo u oculto, del ciclo complementario.
Esto equivale a decir que, la operación entre vértices que definen un lado del triángulo, da como resultado el valor medio (ver figura).
Por otra parte, la operación aplicada a un vértice y al valor central (111), da el valor extremo del eje de simetría correspondiente (segundos puntos medios de la figura). Los puntea extremos de los ejes de simetría son complementarios (uno es la negación del otro, y viceversa), por lo cual, ⊕ aplicada a ellos, nos da el valor central (la unidad) (parte baja de la figura). También da el valor central (111) ⊕ aplicada a los 3 vértices (001⊕100⊕010 = 111) y a los tres puntos medios (011⊕101⊕110 = 111); lo cual da la pauta que los valores medios (complementarios) tienen un comportamiento 'opuesto'. No obstante ello, su comportamiento 'aparente' es coherente:
Finalmente, la 'aparente' coherencia del sistema se corrobora, si aplicamos ⊕ a todos los valores, ya que no daría la unidad (111) (ver figura).
El comportamiento de los valores complementarios de los vértices, que como vemos, es opuesto al resto, nos animó a hacer una propuesta que explicara este comportamiento, y la premisa fundamental, en este sentido, fue el proponer la existencia, en realidad, de 8 valores y no 7 como lo presenta el plano proyectivo mínimo. Este octavo valor es el 0, que por estar 'oculto', no se hace evidente, como no sea a través de un comportamiento 'anómalo' del grupo.
Para fundamentar la hipótesis es que se le hacen, al esquema tradicional, las adaptaciones topológicas ya señaladas, pero que insistimos, en nada modifican desde lo formal, el espíritu del planteo. El surgir de esta pequeña 'incoherencia' da la posibilidad, haciendo uso estricto de las reglas propuestas para la definición de grupo (dadas en el capítulo 1 de la Tesis), de mostrar que en realidad, el funcionamiento de este grupo de valores es absolutamente coherente, pero a condición de aceptar, como demostraremos, que es un grupo complejo, con un aspecto superficial (el mostrado por el desarrollo tradicional), y un aspecto profundo (oculto), que posibilita explicar la presencia de relaciones 'complejas' (de oposición, de complementariedad, y de concurrencia) entre los elementos constitutivos del grupo.
Veamos el funcionamiento lógico de nuestra propuesta:
Las operaciones profundas (ocultas) cambian, primero, en que la operación de transformación es la ≣ (equivalencia) (opuesta a ⊕); y que el valor central es tomado bajo dos aspectos: a) como la unidad 000, que surge de aplicar ≣ a los valores de intersección del trifolio (círculo central) con el triángulo blanco (ver figura), y b) parcialmente, cada valor de intersección por separado, con los respectivos pares de valores complementarios.
Realizemos esas transformaciones profundas, tomando el valor central, como unidad (000):
Tomando el valor central discriminado:
Siguiendo las operaciones de la figura adjunta, finalmente se llega a la unidad = 0000.
Finalmente, como corolario:
Con esto último queda definido el segundo aspecto de simetría planteado por este sistema: el complementario, quedando de esta manera completo, el fundamento de los 'espejos mágicos'.
[continuará ... }
¡Nos vemos mañana!