Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 247)
Cuaderno XI (páginas 1483 a 1488)
(Continuamos con la caracterización de los grupos)
Otros grupos: partimos de los grupos elementales PAU0 y PAU1. Su producto (PAU0xPAU1), nos da un grupo cíclico de orden 2 (PAU2), cuya dinámica (negación transclásica) permite estructurar dos elementos compuestos en este grupo: 01 y 10.
PAU6 - Grupo cíclico de orden 6 (PAU2xPAU2xPAU2)
Este grupo es, en definitiva, el mismo PAU4, que se ha desglosado sus dos ciclos en uno profundo (o primario), y uno superficial (o secundario), que en realidad ciclón simultáneamente, en sentido opuesto.
PAU8 - Grupo cíclico de orden 8 (PAU2xPAU2xPAU2): así llegamos, en forma brillante, a la figura desde donde partimos a analizar el código genético y la base del I Ching.
PAU64 (PAU8xPAU8)
SIMETRÍA
De un mejor análisis de las operaciones de simetría, surgen una serie de incoherencias y se descubren algunos fundamentos que tenemos que tratar.
Nos referiremos, en primer lugar, a las operaciones de simetría del △ equilátero.
A = sistema de coordenadas. Rotamos B en el sentido de las agujas del reloj, 120º, de tal suerte que sus vértices queden: 213. Esto es la primera incongruencia con 'todo' lo dicho hasta ahora: un giro Dx de 132 es 213, y no 321, como habíamos considerado desde el primer capítulo. Llamaremos a esta primera operación O120. Un giro en el mismo sentido pero de 240º, nos dará O240 = 321 (y no 213 como decíamos antes). Considera la no procedencia de tener en cuenta una rotación a -120º (o sea levógira), pues no es, para los autores, una operación que pertenezca a las simetrías intrínsecas del triángulo.
Vamos a demostrar que esto no es así, pues el análisis que hay que hacer de ello, no tiene que ver con la 'secuencia' con que se hacen los giros, sino con la simetría por reflexión. Un giro de 360º, lleva el △ a su posición inicial (como si no hubiéramos hecho nada (132) y por esta razón, se la denomina 'operación identidad', y se la representa, matemáticamente, por 1 (lo cual es una escaramuza matemática; es para que la 'tabla de multiplicar', funcione).
Se consideran ahora, las reflexiones respecto a los distintos ejes del sistema de referencia: OI = 123; OII = 312; OIII = 231. Esto último completa las 6 operaciones de simetría de un △ equilátero: 3! (factorial), y da la siguiente tabla:
Identidad 132 123 OI
O120 213 231 OIII
O240 321 312 OII
Las anteriores, son todas las operaciones o transformaciones que se pueden hacer con un △ equilátero, permutando sus vértices.
Vamos a demostrar que las tres operaciones de reflexión, realmente lo son, y que son perfectamente equivalentes a las de rotación, pero en sentido inverso (por tanto - 120º tiene sentido).
La figura 2a muestra nuestro △ B, reflejado en un espejo plano. Considerando solo los vértices, la imagen (a la derecha) tiene una permutación de sus vértices 2 y 3, con respecto a la original (izquierda), como si lo hubiéramos volteado en torno al eje de referencia I. Por tanto, a la izquierda, tenemos 213 (giro Dx de 120º), y a la derecha 231. En la fecha que indica el sentido de giro parece haber un error en el dibujo, pero en realidad, no es así.
En el esquema inferior de la figura adjunta se aclara lo anterior. En la imagen real (superior) el sentido de giro es de izquierda→derecha, y en el reflejo (inferior), también, ya que, lo que está a la izquierda en el original, permanece a la izquierda en la imagen, y lo mismo con la derecha. Solo se invierte lo anterior y lo posterior. Por tanto, partiendo de 1 arriba (original) sigue la secuencia 2→1→3 (de izquierda a derecha), y abajo (imagen reflejada), la secuencia 2→3→1, que es exactamente igual que si girásemos el △ - 240º
Ver esquema izquierdo de la figura siguiente.
Apuntes de: "The Fourth Dimension - Simply Explained" - 'La cuarta dimensión (4D) - Explicada en forma sencilla', de Manning, 1910:
p#48 Dos volúmenes simétricos (con caras iguales, pero en orden inverso) como las dos pirámides vacías C y D (esquema derecho de la figura adjunta), no se pueden hacer coincidir con ningún movimiento de nuestro espacio, pero sí se puede, haciendo rotar uno de ellos 180º, en el hiperespacio. La pirámide rotada desaparece de nuestro espacio, y se desliza al otro, reapareciendo luego de ser rotada 180º nuevamente en él. Los 'grados de libertad' son mayores en el hiperespacio que en 3D. En 3D hay 6 grados de libertad, para un cuerpo sólido: 3 traslaciones y 3 rotaciones, a través de sus 3 ejes. En 4D hay 10: 4 traslaciones por sus 4 ejes, y 6 rotaciones, a través de sus 6 planos, mientras al menos, 4 de sus puntos permanecen fijos para prevenir todos los movimientos.
En 4D, una esfera, sin estirarse ni romperse, puede darse vuelta al revés. Dos anillos de una cadena, pueden separarse sin cortarse. Nuestros nudos no son útiles, ya que pueden desatarse sin mover sus extremos. Un cuerpo sólido puede, en 4D, pasar de dentro de un lugar cerrado, hacia afuera, sin atravesar sus paredes. En pocas palabras, el interior de todos los sólidos está abierto a la inspección y manipulación, en la 4D. (video)
¿Tiene existencia la 4D?
Si así fuera, nuestro universo debe ser un pequeño espesor en la 4D, de otra forma, como ocurre con nuestros planos que no tienen espesor, nuestro mundo (como afirman algunos filósofos idealistas) es una mera abstracción, esto es, nada más que una sombra proyectada por un mundo 4D. {tal cual nuestra propuesta. ¡Platón tenía razón! [ver en este blog, bajo la categoría 'Filosofía', ¿Estaba en lo cierto Platón?]} [algo similar a lo anterior ocurriría para quienes vivieran en un mundo bidimensional, si irrumpiera en ese universo, un cubo 3D (video)]
p#50 En nuestro espacio, 4 es el número mayor de puntos, cuyas distancias mutuas (6 en total) son todas independientes entre sí; pero, en 4D, 10 distancias entre cualesquiera dos puntos entre sí son, geométricamente, independientes. Se esta gran libertad de posición se les permitiera a los átomos, ayudaría a explicar fenómenos químicos como el Isomerismo, {aquí está la clave para explicar todo lo anterior} donde las moléculas de idéntica composición {como nuestros triángulos} tienen distintas propiedades. De nuevo, la rotación en 4D podría explicar el porqué un cuerpo puede modificar el plano de rotación de la luz polarizada de Dx a Lv. {¡Esta es nuestra propuesta!}
La mirada revela 2 dimensiones (2D) directamente: largo y ancho; mientras que la tercera dimensión (3D), agrega la profundidad de un objeto, la cual es estimada mediante el ajuste muscular que se hace para enfocarlo.
p#75
En la tabla superior izquierda de la figura adjunta vemos los límites en puntos, líneas, planos y cubos, en las cuatro primeras dimensiones.
p#77 Si dos triángulos, en el mismo espacio bidimensional, son simétricos con respecto a una línea (esquema A, en la figura adjunta), tal coincidencia de los puntos y líneas correspondientes, puede ser efectiva, solo mediante la rotación de uno de los triángulos, en el espacio 3D, sobre la línea de simetría. Dicho de otro modo, un triángulo debe ser 'elevado' al espacio 3D, girado y puesto sobre el otro. Lo mismo, si dos figuras poliédricas (esquema B), en el mismo espacio 3D son simétricas con respecto a un plano, la correspondencia de puntos, líneas y planos será efectiva, solo mediante la rotación de dicha figura en la 4D. [aquí recién quedé convencido de que la psiquis debía ser representada mediante un hipercubo]
Corolario: para demostrar la simetría, debemos 'trasladarnos' a una dimensión mayor de la que está el objeto considerado. Esto mismo se cumple cuando tenemos en cuenta, no solo la dirección, sino el 'sentido de giro' de los vértices de una figura plana. Otra cosa es en un volumen, en donde aparece un cuarto valor. {0 en nuestro caso. Por el hecho de considerar dirección y sentido, ¡Un plano se transforma en un volumen 3D (ancho, largo, rotación[dirección y sentido])! Por esta razón es necesario considerar la 4D, ¡Para ver su simetría!}
p#84 El álgebra es lo idóneo para analizar la 4D, ya que la geometría, en sí misma, se agota en la 3D; el álgebra no, puesto que puede resolver una ecuación de 4 variables, dado que esa ecuación es una representación abreviada de la respectiva geometría. Así: x² + y² = 15 representa un círculo (2D = 2 variables); mientras que: x² + y² - z² = 0, representa un cono (3D = 3 variables).
Nos podemos hacer una idea de la 4D, si miramos un cubo a aristas con un solo ojo; lo que nos daría la siguiente figura bidimensional (izquierda), ya que la 3D depende de la ubicación de los ojos en la cara, y de la visión binocular.
{Algo importante: como para generar un objeto 1D, uno desplaza una 0D (punto) para formar una línea; para generar una 2D, desplazamos una 1D (línea) para formar un plano; para generar una 3D, desplazamos una 2D (plano) para generar un cubo. Esto es, la 'sombra' (como ya hemos visto), nos está dando el elemento base del objeto que estamos considerando. Por tanto, un cubo es la 'sombra' de la 4D} Luego, el teseracto (derecha de la figura) se corresponde al cuadrado en 2D y al cubo en 3D (son las sombras respectivas).
p#95
La rotación en la 2D es alrededor de un punto.
La rotación en la 3D es alrededor de una línea.
La rotación en la 4D es alrededor de un plano.
En 2D, los ángulos rectos 'derechos' e 'izquierdos' nunca se pueden hacer coincidir, a menos que, lo rotemos en 3D alrededor de una de las líneas de sus lados. De manera que, en nuestro espacio, la correspondencia entre sólidos 'derecho' e 'izquierdo' . Por ejemplo: mano derecha e izquierda, solo se puede hacer si rotamos una de ellas alrededor de un plano (o sea, en la 4D). La imagen en un espejo plano de un sólido, representa esta situación.
Todo lo anterior explica, de alguna forma, el qué y el cómo de la 4D. Ahora, ¿Dónde está?
Partimos de la definición de espacio: aquello que separa dos porciones de un espacio de orden superior, una de otra. {ni más ni menos que la 'sombra'} Para que la separación sea efectiva, el plano tiene que ser 'más' que una mera abstracción; es decir, si es un plano 'real' debe tener un mínimo de espesor. {la figura de la 'sombra' evita este axioma, ya que no tiene espesor, pero es la proyección de algo real; por lo tanto, deja de ser hipotético como el plano geométrico}
Otra cosa importante: todos nuestros sentidos son 2D; la 3D surge de un proceso intelectivo. [luego veremos que no es intelectivo, sino volitivo]
Por tanto, la 4D puede explicar aquellos fenómenos que se consideran 'ocultos', por ejemplo: la esencia. [o la psiquis]
p#104 Nuestro conocimiento 3D es muy imperfecto. Podemos movernos irrestrictamente en 2D (en largo y ancho), pero cuando tratamos de desplazarnos en 3D, estamos en peores condiciones que los peces o los pájaros. Nuestro conocimiento del interior de un sólido depende del estudio de una superficie (el ejemplo del histólogo, al cortar secciones de un cubo de tejido con el micrótomo). Nuestros conceptos 3D son meras referencias de nuestros conocimientos 2D. {vale decir, solo conocemos bien, las sombras, por tanto y como ya lo dijéramos, ¡Tenía razón Platón!}
Adelantándonos un poco (p# 187) podemos afirmar que nuestros 'espejos mágicos' sugieren que la forma externa es una expresión de una diferencia interna.
[continuará ... ]
¡Nos vemos mañana!
(Continuamos con la caracterización de los grupos)
Otros grupos: partimos de los grupos elementales PAU0 y PAU1. Su producto (PAU0xPAU1), nos da un grupo cíclico de orden 2 (PAU2), cuya dinámica (negación transclásica) permite estructurar dos elementos compuestos en este grupo: 01 y 10.
PAU6 - Grupo cíclico de orden 6 (PAU2xPAU2xPAU2)
Este grupo es, en definitiva, el mismo PAU4, que se ha desglosado sus dos ciclos en uno profundo (o primario), y uno superficial (o secundario), que en realidad ciclón simultáneamente, en sentido opuesto.
PAU8 - Grupo cíclico de orden 8 (PAU2xPAU2xPAU2): así llegamos, en forma brillante, a la figura desde donde partimos a analizar el código genético y la base del I Ching.
PAU64 (PAU8xPAU8)
SIMETRÍA
De un mejor análisis de las operaciones de simetría, surgen una serie de incoherencias y se descubren algunos fundamentos que tenemos que tratar.
Nos referiremos, en primer lugar, a las operaciones de simetría del △ equilátero.
Vamos a demostrar que esto no es así, pues el análisis que hay que hacer de ello, no tiene que ver con la 'secuencia' con que se hacen los giros, sino con la simetría por reflexión. Un giro de 360º, lleva el △ a su posición inicial (como si no hubiéramos hecho nada (132) y por esta razón, se la denomina 'operación identidad', y se la representa, matemáticamente, por 1 (lo cual es una escaramuza matemática; es para que la 'tabla de multiplicar', funcione).
Se consideran ahora, las reflexiones respecto a los distintos ejes del sistema de referencia: OI = 123; OII = 312; OIII = 231. Esto último completa las 6 operaciones de simetría de un △ equilátero: 3! (factorial), y da la siguiente tabla:
Identidad 132 123 OI
O120 213 231 OIII
O240 321 312 OII
Las anteriores, son todas las operaciones o transformaciones que se pueden hacer con un △ equilátero, permutando sus vértices.
Vamos a demostrar que las tres operaciones de reflexión, realmente lo son, y que son perfectamente equivalentes a las de rotación, pero en sentido inverso (por tanto - 120º tiene sentido).
En el esquema inferior de la figura adjunta se aclara lo anterior. En la imagen real (superior) el sentido de giro es de izquierda→derecha, y en el reflejo (inferior), también, ya que, lo que está a la izquierda en el original, permanece a la izquierda en la imagen, y lo mismo con la derecha. Solo se invierte lo anterior y lo posterior. Por tanto, partiendo de 1 arriba (original) sigue la secuencia 2→1→3 (de izquierda a derecha), y abajo (imagen reflejada), la secuencia 2→3→1, que es exactamente igual que si girásemos el △ - 240º
Ver esquema izquierdo de la figura siguiente.
p#48 Dos volúmenes simétricos (con caras iguales, pero en orden inverso) como las dos pirámides vacías C y D (esquema derecho de la figura adjunta), no se pueden hacer coincidir con ningún movimiento de nuestro espacio, pero sí se puede, haciendo rotar uno de ellos 180º, en el hiperespacio. La pirámide rotada desaparece de nuestro espacio, y se desliza al otro, reapareciendo luego de ser rotada 180º nuevamente en él. Los 'grados de libertad' son mayores en el hiperespacio que en 3D. En 3D hay 6 grados de libertad, para un cuerpo sólido: 3 traslaciones y 3 rotaciones, a través de sus 3 ejes. En 4D hay 10: 4 traslaciones por sus 4 ejes, y 6 rotaciones, a través de sus 6 planos, mientras al menos, 4 de sus puntos permanecen fijos para prevenir todos los movimientos.
En 4D, una esfera, sin estirarse ni romperse, puede darse vuelta al revés. Dos anillos de una cadena, pueden separarse sin cortarse. Nuestros nudos no son útiles, ya que pueden desatarse sin mover sus extremos. Un cuerpo sólido puede, en 4D, pasar de dentro de un lugar cerrado, hacia afuera, sin atravesar sus paredes. En pocas palabras, el interior de todos los sólidos está abierto a la inspección y manipulación, en la 4D. (video)
Si así fuera, nuestro universo debe ser un pequeño espesor en la 4D, de otra forma, como ocurre con nuestros planos que no tienen espesor, nuestro mundo (como afirman algunos filósofos idealistas) es una mera abstracción, esto es, nada más que una sombra proyectada por un mundo 4D. {tal cual nuestra propuesta. ¡Platón tenía razón! [ver en este blog, bajo la categoría 'Filosofía', ¿Estaba en lo cierto Platón?]} [algo similar a lo anterior ocurriría para quienes vivieran en un mundo bidimensional, si irrumpiera en ese universo, un cubo 3D (video)]
p#50 En nuestro espacio, 4 es el número mayor de puntos, cuyas distancias mutuas (6 en total) son todas independientes entre sí; pero, en 4D, 10 distancias entre cualesquiera dos puntos entre sí son, geométricamente, independientes. Se esta gran libertad de posición se les permitiera a los átomos, ayudaría a explicar fenómenos químicos como el Isomerismo, {aquí está la clave para explicar todo lo anterior} donde las moléculas de idéntica composición {como nuestros triángulos} tienen distintas propiedades. De nuevo, la rotación en 4D podría explicar el porqué un cuerpo puede modificar el plano de rotación de la luz polarizada de Dx a Lv. {¡Esta es nuestra propuesta!}
La mirada revela 2 dimensiones (2D) directamente: largo y ancho; mientras que la tercera dimensión (3D), agrega la profundidad de un objeto, la cual es estimada mediante el ajuste muscular que se hace para enfocarlo.
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p#77 Si dos triángulos, en el mismo espacio bidimensional, son simétricos con respecto a una línea (esquema A, en la figura adjunta), tal coincidencia de los puntos y líneas correspondientes, puede ser efectiva, solo mediante la rotación de uno de los triángulos, en el espacio 3D, sobre la línea de simetría. Dicho de otro modo, un triángulo debe ser 'elevado' al espacio 3D, girado y puesto sobre el otro. Lo mismo, si dos figuras poliédricas (esquema B), en el mismo espacio 3D son simétricas con respecto a un plano, la correspondencia de puntos, líneas y planos será efectiva, solo mediante la rotación de dicha figura en la 4D. [aquí recién quedé convencido de que la psiquis debía ser representada mediante un hipercubo]
Corolario: para demostrar la simetría, debemos 'trasladarnos' a una dimensión mayor de la que está el objeto considerado. Esto mismo se cumple cuando tenemos en cuenta, no solo la dirección, sino el 'sentido de giro' de los vértices de una figura plana. Otra cosa es en un volumen, en donde aparece un cuarto valor. {0 en nuestro caso. Por el hecho de considerar dirección y sentido, ¡Un plano se transforma en un volumen 3D (ancho, largo, rotación[dirección y sentido])! Por esta razón es necesario considerar la 4D, ¡Para ver su simetría!}
p#84 El álgebra es lo idóneo para analizar la 4D, ya que la geometría, en sí misma, se agota en la 3D; el álgebra no, puesto que puede resolver una ecuación de 4 variables, dado que esa ecuación es una representación abreviada de la respectiva geometría. Así: x² + y² = 15 representa un círculo (2D = 2 variables); mientras que: x² + y² - z² = 0, representa un cono (3D = 3 variables).
{Algo importante: como para generar un objeto 1D, uno desplaza una 0D (punto) para formar una línea; para generar una 2D, desplazamos una 1D (línea) para formar un plano; para generar una 3D, desplazamos una 2D (plano) para generar un cubo. Esto es, la 'sombra' (como ya hemos visto), nos está dando el elemento base del objeto que estamos considerando. Por tanto, un cubo es la 'sombra' de la 4D} Luego, el teseracto (derecha de la figura) se corresponde al cuadrado en 2D y al cubo en 3D (son las sombras respectivas).
p#95
La rotación en la 2D es alrededor de un punto.
La rotación en la 3D es alrededor de una línea.
La rotación en la 4D es alrededor de un plano.
En 2D, los ángulos rectos 'derechos' e 'izquierdos' nunca se pueden hacer coincidir, a menos que, lo rotemos en 3D alrededor de una de las líneas de sus lados. De manera que, en nuestro espacio, la correspondencia entre sólidos 'derecho' e 'izquierdo' . Por ejemplo: mano derecha e izquierda, solo se puede hacer si rotamos una de ellas alrededor de un plano (o sea, en la 4D). La imagen en un espejo plano de un sólido, representa esta situación.
Todo lo anterior explica, de alguna forma, el qué y el cómo de la 4D. Ahora, ¿Dónde está?
Partimos de la definición de espacio: aquello que separa dos porciones de un espacio de orden superior, una de otra. {ni más ni menos que la 'sombra'} Para que la separación sea efectiva, el plano tiene que ser 'más' que una mera abstracción; es decir, si es un plano 'real' debe tener un mínimo de espesor. {la figura de la 'sombra' evita este axioma, ya que no tiene espesor, pero es la proyección de algo real; por lo tanto, deja de ser hipotético como el plano geométrico}
Otra cosa importante: todos nuestros sentidos son 2D; la 3D surge de un proceso intelectivo. [luego veremos que no es intelectivo, sino volitivo]
Por tanto, la 4D puede explicar aquellos fenómenos que se consideran 'ocultos', por ejemplo: la esencia. [o la psiquis]
p#104 Nuestro conocimiento 3D es muy imperfecto. Podemos movernos irrestrictamente en 2D (en largo y ancho), pero cuando tratamos de desplazarnos en 3D, estamos en peores condiciones que los peces o los pájaros. Nuestro conocimiento del interior de un sólido depende del estudio de una superficie (el ejemplo del histólogo, al cortar secciones de un cubo de tejido con el micrótomo). Nuestros conceptos 3D son meras referencias de nuestros conocimientos 2D. {vale decir, solo conocemos bien, las sombras, por tanto y como ya lo dijéramos, ¡Tenía razón Platón!}
Adelantándonos un poco (p# 187) podemos afirmar que nuestros 'espejos mágicos' sugieren que la forma externa es una expresión de una diferencia interna.
[continuará ... ]
¡Nos vemos mañana!