junio 14, 2014

Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 245)

Cuaderno XI (páginas 1471 a 1476)

(En este capítulo continuamos con nuestras consideraciones sobre los grupos)

En el capítulo anterior hemos planteado, a través de dos artificios: los 'espejos mágicos' y el Plano de Fano modificado, cómo suponemos que es la lógica (las relaciones) entre los elementos mínimos de un grupo; y descubrimos así, que desde un punto de vista geométrico, los podemos plantear como integrados por dos planos: uno superficial y otro profundo, y que la dinámica de ambos planos está asegurada por sendas operaciones de transformación. Si bien, todo lo anterior fue probado de manera suficiente, si nos detenemos un instante a analizar las condiciones en que se da dicha dinámica, veremos algunas cosas que, como mínimo, se pueden considerar como paradójicas. Por ejemplo, para que los elementos tildados de superficiales ciclen directamente, se les debe aplicar la operación de transformación que caracterizamos como profunda (≣). Así:

001≣100 = 010
100≣010 = 001
010≣001 = 100     y la inversa también se cumple:

011⊕101 = 110
101⊕110 = 011
110⊕011 = 101

Esta aparente paradoja tiene su explicación fundada en dos aspectos: 1) no estamos analizando el nivel de detalle adecuado, y 2) el análisis se sustenta, exclusivamente, en la lógica binaria (clásica). Para que las evidencias sean congruentes con nuestra propuesta, entonces, debemos replantear los considerandos iniciales. Esto último, no quiere decir otra cosa que: debemos buscar la verdadera 'unidad estructural' del grupo, y tenemos que hacerlo desde el empleo de una lógica alternativa, ya que la lógica binaria se muestra, claramente, ambigua.

GRUPOS:

Es la estructura más básica que podemos construir. Un grupo [S,⁺] {en nuestro caso [PAU,] debe obedecer a los siguientes axiomas:

Ga: * es asociativa, (ab)c = a(bc)
Ge: hay un elemento identidad e, ae = ea = a
Gi: todos los elementos tiene inversas, aa⁻ⁱ = a⁻ⁱa =

{en nuestro caso, este axioma debe ser redefinido, ya que, negación (que en lo tradicional es lo opuesto) no significa lo mismo que opuesto. Por tanto, quedaría así: existe una operación inversa que, compuesta con la operación directa, da el elemento neutro.

Definición de nuestro grupo:
Elementos: 01, 10, 11
Elemento neutro (identidad): 00
Operación directa: ⊕
Operación inversa: ≣

Por tanto: (01⊕10)≣(01≣10) = (01≣10)≣(01⊕10) = 00
                      11    ≣    00     =      00    ≣    11      = 00

Esto no quiere decir que no se cumpla el axioma tradicional (por lo menos en parte), pues cada elemento del grupo tiene su inverso, aunque en este caso, no signifique negación.}

Se debe agregar Gc: S es cerrado sobre (*), ab ∈ S. {esto, en palabras simples, significa que al aplicar la operación directa a dos elementos (operandos) del grupo, el resultado debe ser un elemento del grupo} (*) es la operación elegida, en nuestro caso es ⊕.

Si (*) es conmutativa, el grupo se llama: abeliano. {nuestro grupo lo es}

La cardinalidad del conjunto en el grupo, esto es, el número de elementos del conjunto del grupo, es llamado el orden del grupo. {por tanto, nuestro grupo es de orden 4 y, obviamente, la lógica que en él se sustenta, tetravalente} Se escribe el orden del grupo S como ❘S. Si el orden es un número natural, luego, el grupo es finito, de lo contrario, es infinito.

Grupos cíclicos: un grupo se dice 'cíclico', si todos sus elementos son producidos como potencias de un elemento. {esto, aparentemente, lo cumple nuestra tabla del código genético, en donde, si lo hacemos en decimal, un codón se forma como: 1ª letra x (10²) + 2ª letra x (10¹) + 3ª letra x (10⁰); o en binario: 1ª letra x 4² + 2ª letra x 4¹ + 3ª letra x 4⁰} Entonces se dice que el grupo es generado por ese elemento.

Tratando de aprender algo más sobre la teoría de grupo, he encontrado 'Group Explorer' un software que me ayudará a definir nuestro grupo, con nuestras bases - álgebra y lógica incluidas.

He detectado una serie de incongruencias importantes, tales como: salvo que lo nuestro es un grupo, según el álgebra abstracta tradicional (con un pequeñísimo ajuste), no coincide con ninguno de los grupos definidos, por lo menos en la base de datos de Group Explorer. Esto quiere decir: 1) o bien el álgebra que sustenta nuestro desarrollo no es euclídea, o 2) la lógica que lo organiza no es binaria; o bien, ambas cosas. Por ahora, esto que acabamos de plantear, puede esperar; lo que no puede esperar, es el planteo concreto de cuáles características comparte nuestro PAU, con los distintos grupos, y tratar de sentar las bases de una nueva definición algebraica (que puede que ya esté hecha, como ha sucedido con tantas otras cosas, luego lo investigaremos.

[continuará ... ]

¡Nos vemos mañana!