Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 246)
Cuaderno XI (páginas 1477 a 1482)
(Continuamos con los Grupos y sus coincidencias con nuestro PAU)
Grupo cíclico de orden 3 (Z3) - Definiciones
Grupo: conjunto de elementos junto con una operación binaria (aquí denotada por (*)), tal que manejan los siguientes criterios: 1) la operación binaria es asociativa {el PAU lo cumple}: para cada a, b y c, en el conjunto, a*(b*c) = (a*b)*c; 2) hay un elemento especial en el conjunto llamado 'identidad' {o neutro}, el cual aquí, se denota como e {lo cumple}; y 3) para cada elemento a, en el conjunto, hay un elemento que es su inversa, usualmente, llamado a⁻ⁱ, tal que a*a⁻ⁱ = e. {este tercer criterio debe ser reformulado para nuestro grupo: 1º) no tiene una sola operación binaria, sino dos, que son opuestas; 2º) si bien cada elemento del grupo tiene su opuesto, solo una de las operaciones da e (en nuestro caso, e = 0), la otra da 1 (nuestra unidad). Es como si se considerara, simultáneamente, en la teoría tradicional, que un grupo está condicionado por las dos operaciones habituales (suma y producto), en donde el término 'identidad' es, respectivamente, 0 y 1 (¡brillante!)} {No sé si a nuestro grupo se le puede llamar 'bicíclico' sin provocar una gran confusión terminológica} {Nuestro tercer criterio queda así: "Existe una operación inversa que, compuesta con la operación directa, da el elemento neutro. Todos los elementos del grupo tienen su opuesto."}
Grupo cíclico: es aquel generado por un elemento. Por tanto está comprendido, enteramente, en la órbita de tal elemento. Esta diminución también tiene que ser reformulada, pues, nuestro grupo, que es cíclico, porque con sucesivas operaciones aplicadas a los elementos base, se llega al elemento desde el cual se partió, sin 'importar' ningún elemento, no es generado por un elemento, sino por dos: 01 y 10. Por lo tanto, es bicíclico. [un ciclo por cada elemento, o lo que es lo mismo, un ciclo basado en el objeto (objetivo) de naturaleza superficial o aparente; y un ciclo basado en el sujeto (subjetivo) de índole profunda u oculta]
Orden de un grupo: es, simplemente, su tamaño; o sea, cuántos elementos hay en él. Nuestro grupo, entonces, es de orden 4.
¿De acuerdo a lo anterior, qué tiene en común el PAU4 y Z3?
- Ambos son abelianos: grupo abeliano es aquel que es conmutativo, ab = ba.
- Ambos son cíclicos: el PAU es 'bicíclico'
- Ambos tienen dos subgrupos. Subgrupo: si S es un subconjunto del grupo G, decimos que S es un subgrupo, si es también, un grupo bajo la operación de G (siempre con los tres criterios)
Veamos nuestro caso específico: 01 y 10 = opuestos; 11 = unidad; 00 = neutro.
Subgrupo superficial (giro objetivo)
01⊕10 = 11 - Asociativo: 01⊕(10⊕11) = (01⊕10)⊕11
Generador = 01 00 = 00
Subgrupo profundo (giro subjetivo)
01≣10 = 00 - Asociativo: 01≣(10≣00) = ((01≣10)≣00
Generador = 10 11 = 11
[En la figura adjunta se ve dónde está el 'puente' real entre los ciclos objetivo (OS) y subjetivo (SO). (la frontera)
Según se observa en la figura el origen de cada uno de los ciclos (interno y externo) radica en su polo opuesto; esto es: SVO (superficial) que define el ciclo objetivo tiene su origen S (01), en el ciclo subjetivo. En otras palabras es lo de subjetivo que tiene el ciclo objetivo.
Lo contrario sucede en el ciclo subjetivo O⊽S que define lo profundo y propiamente subjetivo, tiene su origen O (10) en el ciclo objetivo indicando lo de objetivo que tiene el ciclo subjetivo]
En nuestro caso, en vez de generador, lo llamamos 'fuente' de la transformación o cambio, y cumple con nuestra definición de cíclico, ya que, partiendo de la fuente, y mediante la aplicación sucesiva de la operación de transformación, se llega a él; vuelve a la fuente y en esto, se comporta como lo que es nuestro grupo: una 'conexión de Galois'; es decir, una oposición mediada por otra oposición, que faculta en girar en cualquier sentido, sin modificar el elemento desde donde se parte, y al cual llega. El hecho de haber más de una fuente, no impide que un grupo sea cíclico, en todo caso, tendrá un ciclo por cada uno.
Grupo PAU4 y Z4:
- Ambos son abelianos
- Ambos son cíclicos
- Tienen el mismo objeto de simetría, solo que Z4 muestra solo las dos oposiciones, y la composición superficial y profunda con los mismos colores.
Grupo PAU4 y V4 (Grupo Klein 4):
- Ambos son abelianos
- Plantea la lógica concreta que maneja nuestro grupo, a saber:
- Una oposición mediada por otra oposición (conexión de Galois), y por ende, tienen la misma tabla producto.
- Tienen los mismos diagramas de Cayley:
Redefinimos grupo, según lo encontrado en Kurosh ("The Theory of Group", 1952, p. 30)
Se llama grupo (G) a un conjunto no-vacío, con una operación algebraica, si satisface las siguientes condiciones: a) la operación en G es asociativa, y b) se puede realizar en G, la operación inversa.
No es necesario que la operación en G sea conmutativa; si lo es, el grupo G se denomina abeliano, y significa que sus elementos son permutables. Si tiene un número finito de elementos se denominará 'grupo finito', y el número de elementos, se llamará: el orden del grupo.
Todo lo anterior se ajusta mejor a lo nuestro, ya que, las otras condiciones dadas a cumplir por un supuesto grupo, deber ser modificadas para que coincida exactamente con lo nuestro, que si bien logramos probar que se ajustaban en un todo (matemáticamente hablando), no son 'elegantes'.
Ajustes 'lógicos' a la teoría de grupos: para nuestros propósitos, en b) se puede agregar que nuestro grupo es una estructura cerrada: la aplicación, tanto de la operación directa, como inversa, siempre da un elemento del grupo.
PAU0 - Grupo Neutro:
PAU2 - Grupo Cíclico de orden 2:
PAU4 - Grupo Cíclico de orden 4: puede plantearse, también, como PAU2xPAU2 y V4.
Por la doble oposición puede plantearse como un V4:
PAU1 - Grupo Unidad
PAU3 - Grupo cíclico de orden 3: PAU1xPAU2 / 1x01(1x0x1)
[continuará ... ]
¡Nos vemos mañana!
(Continuamos con los Grupos y sus coincidencias con nuestro PAU)
Grupo cíclico de orden 3 (Z3) - Definiciones
Grupo: conjunto de elementos junto con una operación binaria (aquí denotada por (*)), tal que manejan los siguientes criterios: 1) la operación binaria es asociativa {el PAU lo cumple}: para cada a, b y c, en el conjunto, a*(b*c) = (a*b)*c; 2) hay un elemento especial en el conjunto llamado 'identidad' {o neutro}, el cual aquí, se denota como e {lo cumple}; y 3) para cada elemento a, en el conjunto, hay un elemento que es su inversa, usualmente, llamado a⁻ⁱ, tal que a*a⁻ⁱ = e. {este tercer criterio debe ser reformulado para nuestro grupo: 1º) no tiene una sola operación binaria, sino dos, que son opuestas; 2º) si bien cada elemento del grupo tiene su opuesto, solo una de las operaciones da e (en nuestro caso, e = 0), la otra da 1 (nuestra unidad). Es como si se considerara, simultáneamente, en la teoría tradicional, que un grupo está condicionado por las dos operaciones habituales (suma y producto), en donde el término 'identidad' es, respectivamente, 0 y 1 (¡brillante!)} {No sé si a nuestro grupo se le puede llamar 'bicíclico' sin provocar una gran confusión terminológica} {Nuestro tercer criterio queda así: "Existe una operación inversa que, compuesta con la operación directa, da el elemento neutro. Todos los elementos del grupo tienen su opuesto."}
Grupo cíclico: es aquel generado por un elemento. Por tanto está comprendido, enteramente, en la órbita de tal elemento. Esta diminución también tiene que ser reformulada, pues, nuestro grupo, que es cíclico, porque con sucesivas operaciones aplicadas a los elementos base, se llega al elemento desde el cual se partió, sin 'importar' ningún elemento, no es generado por un elemento, sino por dos: 01 y 10. Por lo tanto, es bicíclico. [un ciclo por cada elemento, o lo que es lo mismo, un ciclo basado en el objeto (objetivo) de naturaleza superficial o aparente; y un ciclo basado en el sujeto (subjetivo) de índole profunda u oculta]
Orden de un grupo: es, simplemente, su tamaño; o sea, cuántos elementos hay en él. Nuestro grupo, entonces, es de orden 4.
¿De acuerdo a lo anterior, qué tiene en común el PAU4 y Z3?
- Ambos son cíclicos: el PAU es 'bicíclico'
- Ambos tienen dos subgrupos. Subgrupo: si S es un subconjunto del grupo G, decimos que S es un subgrupo, si es también, un grupo bajo la operación de G (siempre con los tres criterios)
Veamos nuestro caso específico: 01 y 10 = opuestos; 11 = unidad; 00 = neutro.
Subgrupo superficial (giro objetivo)
01⊕10 = 11 - Asociativo: 01⊕(10⊕11) = (01⊕10)⊕11
Generador = 01 00 = 00
Subgrupo profundo (giro subjetivo)
01≣10 = 00 - Asociativo: 01≣(10≣00) = ((01≣10)≣00
Generador = 10 11 = 11
Según se observa en la figura el origen de cada uno de los ciclos (interno y externo) radica en su polo opuesto; esto es: SVO (superficial) que define el ciclo objetivo tiene su origen S (01), en el ciclo subjetivo. En otras palabras es lo de subjetivo que tiene el ciclo objetivo.
Lo contrario sucede en el ciclo subjetivo O⊽S que define lo profundo y propiamente subjetivo, tiene su origen O (10) en el ciclo objetivo indicando lo de objetivo que tiene el ciclo subjetivo]
En nuestro caso, en vez de generador, lo llamamos 'fuente' de la transformación o cambio, y cumple con nuestra definición de cíclico, ya que, partiendo de la fuente, y mediante la aplicación sucesiva de la operación de transformación, se llega a él; vuelve a la fuente y en esto, se comporta como lo que es nuestro grupo: una 'conexión de Galois'; es decir, una oposición mediada por otra oposición, que faculta en girar en cualquier sentido, sin modificar el elemento desde donde se parte, y al cual llega. El hecho de haber más de una fuente, no impide que un grupo sea cíclico, en todo caso, tendrá un ciclo por cada uno.
Grupo PAU4 y Z4:
- Ambos son abelianos
- Ambos son cíclicos
- Tienen el mismo objeto de simetría, solo que Z4 muestra solo las dos oposiciones, y la composición superficial y profunda con los mismos colores.
Grupo PAU4 y V4 (Grupo Klein 4):
- Ambos son abelianos
- Plantea la lógica concreta que maneja nuestro grupo, a saber:
- Una oposición mediada por otra oposición (conexión de Galois), y por ende, tienen la misma tabla producto.
- Tienen los mismos diagramas de Cayley:
Redefinimos grupo, según lo encontrado en Kurosh ("The Theory of Group", 1952, p. 30)
Se llama grupo (G) a un conjunto no-vacío, con una operación algebraica, si satisface las siguientes condiciones: a) la operación en G es asociativa, y b) se puede realizar en G, la operación inversa.
No es necesario que la operación en G sea conmutativa; si lo es, el grupo G se denomina abeliano, y significa que sus elementos son permutables. Si tiene un número finito de elementos se denominará 'grupo finito', y el número de elementos, se llamará: el orden del grupo.
Todo lo anterior se ajusta mejor a lo nuestro, ya que, las otras condiciones dadas a cumplir por un supuesto grupo, deber ser modificadas para que coincida exactamente con lo nuestro, que si bien logramos probar que se ajustaban en un todo (matemáticamente hablando), no son 'elegantes'.
Ajustes 'lógicos' a la teoría de grupos: para nuestros propósitos, en b) se puede agregar que nuestro grupo es una estructura cerrada: la aplicación, tanto de la operación directa, como inversa, siempre da un elemento del grupo.
PAU0 - Grupo Neutro:
PAU2 - Grupo Cíclico de orden 2:
PAU4 - Grupo Cíclico de orden 4: puede plantearse, también, como PAU2xPAU2 y V4.
Por la doble oposición puede plantearse como un V4:
PAU1 - Grupo Unidad
PAU3 - Grupo cíclico de orden 3: PAU1xPAU2 / 1x01(1x0x1)
[continuará ... ]
¡Nos vemos mañana!