junio 08, 2014

Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 239)

Cuaderno X (páginas 1435 a 1440)

(En el capítulo de hoy veremos parte del trabajo de René Thom (1923 – 2002). Matemático francés fundador de la teoría de las catástrofes. La teoría de las catástrofes es una rama de estudio de las bifurcaciones de sistemas dinámicos, también puede considerarse un caso especial de la teoría de la singularidad usada en geometría.

La teoría de catástrofes resulta especialmente útil para el estudio de sistemas dinámicos que representan fenómenos naturales y que por sus sus características, no pueden ser descritos de manera exacta por el cálculo diferencial. En ese sentido, es un modelo matemático de la morfogénesis. Planteada a finales de la década de 1950 por el matemático francés René Thom —especializado en topología diferencial— y muy difundida a partir de 1968, en la década de 1970 tuvo gran auge, al ser impulsada por los estudios de Christopher Zeeman.
Tiene una especial aplicación en el análisis del comportamiento competitivo y en los modelos de cambio organizativo, evolución social, sistémica y mítica.

Básicamente la teoría de las catástrofes representa la propensión de los sistemas estructuralmente estables a manifestar discontinuidad (pueden producirse cambios repentinos del comportamiento o de los resultados), divergencia (tendencia de las pequeñas divergencias a crear grandes divergencias) e histéresis (el estado depende de su historia previa, pero si los comportamientos se invierten, conducen entonces a que no se vuelva a la situación inicial). Sus aplicaciones son en principio la de simulaciones de objetos naturales, de tal forma que se utiliza en geología, en mecánica, en hidrodinámica, en óptica geométrica, en fisiología, en biología, en lingüística, en dirección estratégica y en sociología. Erik Christopher Zeeman ha generado gran controversia al considerar su aplicación en las ciencias humanas.

La teoría de las catástrofes comparte ámbito con la teoría del caos y con la teoría de los sistemas disipativos desarrollada por Ilya Prigogine. (Wikipedia - 08/06/2014). El abordaje de este trabajo lo haremos desde dos fuentes: del capítulo 9, p. 231, del libro "Entre el Cristal y el Humo" de H. Atlan - Debate, Madrid, 1990; y desde el libro de R. Thom "Estabilidad estructural y morfogénesis". Gedisa, Barcelona, 1977)

Iniciamos el estudio con una frase propia, inspirada en R. Thom "La forma es un 'guiño' cuantitativo de la cualidad."

La teoría de Thom es una representación matemática de lo vivo (fue expuesta en "Estabilidad Estructural y Morfogénesis") y su lenguaje es el de la topología; vale decir, del estudio lógico de las formas.

Este tratar, matemáticamente, con espacios de más de 3D permite reconocer forma muy abstractas, pudiendo así, observar y explicar los fenómenos naturales que presentan en un amplio campo de estudio, que va desde la Biología, hasta la Lingüística o la Psicología.

El estudio topológico se basa en el análisis de la variación de la conectividad lógico-estructural de formas geométricas particulares, cuando su aspecto concreto se desforma. Más precisamente estudia las 'invariantes'; o sea, las propiedades que no cambian a pesar de múltiples transformaciones sufridas sin discontinuidad.

Thom puede individualizar, en las infinitas formas que adoptan los seres vivos y la naturaleza en general, la realización de superficies tortuosas que no son estáticas, como las figuras geométricas habituales, sino, generadas por un dinamismo complejo, {antagónicos, complementarios y concurrentes} o varios en complejos movimientos, por lo que Thom, en un 'raptus dramaticus' lo llamó 'Teoría de las catástrofes'. [no dramatizó nada, efectivamente son verdaderas crisis catastróficas que logran desestabilizar un sistema perfectamente organizado, para permitir luego, su nueva reorganización y posterior evolución lógico-estructural]

Su hipótesis fundamental es que una forma o una apariencia cuantitativa es el resultado de una discontinuidad en alguna parte. {¡¡¡brillante!!!} ¿Discontinuidad de qué? Una discontinuidad del movimiento, producto este, de fuerzas antagónicas que tienden, por su lado, a romper la simetría del movimiento, y otras que tienden a conservarla. De ello resulta un estallido, una discontinuidad, una 'catástrofe' en el movimiento que permanece, mientras la estructura conformada, permanezca estable. De allí, la idea de que toda forma debe poder ser vinculada a un movimiento; un dinamismo particular, en el que una discontinuidad genera una posibilidad de estructura. {aparente, sensible o visible. Lo superficial, necesariamente, debe ser discreto}

Thom la resume diciendo que su método {más que teoría, igual a lo nuestro} 'da cierto fundamento a la aproximación estructural'. Permite explicar la estructura por un dinamismo subyacente. La estabilidad estructural es producto de un dinamismo subyacente que se genera, y del que es su manifestación.

A partir de lo anterior se dedicó a estudiar las condiciones formales de aparición de estructuras dinámicas estables, {¡igual que yo!} de una manera general {universal}, siendo el objetivo principal, elaborar una especie de catálogo de las formas dinámicas, relativamente simples, tal que, cualquier forma natural pudiera reducirse a una superposición o combinatoria de tales formas simples, llamadas 'catástrofes universales'. {mis PAUs son 'catástrofes universales'}

Thom propone la teoría del 'despliegue universal de una singularidad' {¡buena definición para mi PAU!} que estudia lo que ocurre en un punto, donde aparece una discontinuidad, en una función matemática que representa cierto dinamismo que actúa en dicho punto. (este punto se llama 'singular', por oposición a los 'regulares', en donde la función es continua) En tal punto, no solo la función es discontinua, sino que, dependiendo de ciertos valores sobreañadidos, puede adoptar formas positivas. Estos valores (parámetros) expresan, de hecho, la 'acción exterior' del sistema dinámico; {lo evidente, aparente, superficial - variables externas} mientras que las variables propiamente dichas de la función {variables internas}, expresan el dinamismo propio del sistema. {continuo, oculto, profundo} Las variables externas son las 3 coordenadas espaciales y el tiempo.


En el diagrama anterior se pueden apreciar 'nuestras dimensiones' desplegadas. El total de nuestras variables (nichos) son 4.

Las variables internas pueden ser, por ejemplo, concentración de distintas sustancias, cuyo dinamismo es regido por las reacciones químicas y las leyes de difusión. {en una palabra, lo oculto, lo que no se ve, lo profundo}

Con el auxilio de dos hipótesis suplementarias, Thom consigue demostrar el carácter finito del número de 'catástrofes elementales' que limita a 7. {en nuestro caso, los PAUs son 6}

Estas hipótesis son, por un lado, que el dinamismo subyacente se ejerce en nuestro espacio-tiempo de 4 dimensiones (es decir, que el número de variables externas son 4); por otro lado, este dinamismo puede ser descrito por una función que admite un potencial {hasta aquí, la coincidencia es absoluta: lógica binaria en la superficie, y difusa en la profundidad}. Las singularidades, entonces, de una función corresponden a mínimos y máximos de este potencial. En estas condiciones, muestra que el número de singularidades posibles (con su despliegue universal) se limita a siete (7), dadas por 7 expresiones relativamente simples del potencial. {En nuestro caso, las especies son la expresión de 3 niveles de potencial, polarizados en nuestras verdaderas variables externas: S, V y O} Los despliegues universales de esas 7 singularidades desembocan en 7 figuras dinámicas posibles, representadas por superficies más o menos complicadas, desplegadas en el espacio. Secciones de estas superficies, por distintos planos correspondientes a distintos tiempos, representan 'formas elementales' susceptibles de engendrarse, unas a otras, de modo estable. {lo mío es mucho más simple}

Las 7 catástrofes son:
1) Pliegue
2) Frunce
3) Cola de golondrina
4) Mariposa
5) Ombligo hiperbólico
6) Ombligo elíptico
7) Ombligo parabólico


Resumen de "Estabilidad estructural y morfogénesis" - Teoría de las catástrofes - R. Thom:

El programa - La sucesión de las formas:

El universo no es un caos {aparente}. El universo es un movimiento incesante de nacimiento, desarrollo y destrucción de formas.

La ciencia, al no poder determinar en forma rigurosa la evolución de las formas, la cataloga de indeterminismo o de cualitativo, y los desecha, no pudiendo estudiar los innumerables 'indeterminismos'  que afectan a los cuerpos en movimiento.

Teoría de los modelos: a) Modelos formales: ante una situación indeterminada, se trata de prever su evolución futura, mediante el empleo de 'modelos locales'. La noción misma de objeto temporo-espacial, ya implica la noción de modelo. Visto así, diremos que un sistema de formas en evolución, constituye un 'proceso formatizable', si existe un sistema formal P, que responda a las siguientes condiciones: todo estado A del proceso fenomenológico considerado, puede ser parametrizado por un sistema de proposiciones a; si al correr el tiempo, el estado A se transforma en un estado B; B puede ser parametrizado por un conjunto b del sistema P, de suerte que b se deduce formalmente de a, en el interior de P. En otras palabras, existe una aplicación biyectiva del todo o parte de las proposiciones de P sobre el conjunto de las formas presentadas globalmente por el proceso cuya inversa transforma la sucesión temporal, en implicación lógica. {en nuestro caso, la XOR, que transforma la ∪ y la ∩, en doble implicación o ≣ (equivalencia)}

Dicho modelo entraña, a priori, dos partes: una cinemática, cuyo objetivo es parametrizar las formas o los estados del proceso considerado; y una dinámica, cuyo objetivo es describir la evolución temporal, entre las formas.

En el caso de un proceso formalizable (como el descrito), la cinemática la constituyen los datos del sistema P, y de la aplicación h de los conjuntos de proposiciones de P, a las formas del proceso. La dinámica, si fuera conocidas, daría las probabilidades de transición entre un estado A parametrizado por a en P, y un estado B parametrizado por b, consecuencia de a en P. Así, el solo dato de una cinemática formalizable implica una {severa} restricción dinámica. {solo evalúa lo superficial}

b) Modelos continuos: son los diferenciales, y según el autor, son la justificación última del empleo de los modelos cuantitativos en las ciencias. Lo esencial del método propuesto por el autor, consiste en admitir, a priori, la existencia de un modelo diferencial {algo que yo descarto, pues lo sigo considerando como lo que es: discontinuo, discreto; pues el que progrese mediante infinitésimos, no lo hace, estrictamente, continuo} subyacente, en el proceso estudiado, y no pudiendo conocer, explícitamente, ese modelo, en deducir de la sola suposición de su existencia, conclusiones relativas a la naturaleza de las singularidades del proceso. {eso, y decir que las plantas cuyas hojas tienen forma de 'ojo', sirven para tratar las patologías oftalmológicas, es más o menos lo mismo; ¡Ya veo por qué fue tan criticado!}

Por tanto, ciertas consecuencias, de carácter local y cualitativo, podrán obtenerse de la existencia hipotética del modelo. Uno se mueve en lo cuantitativo, pero sin calcular nunca (o casi nunca), y se obtienen resultados cualitativos. {evidentemente esta, que es lo crucial en la propuesta, es lo más flojo de la teoría. Además, el argumento de la escasez de cálculo, no hace a un fenómeno cualitativo. Puede haber otro tipo de cálculo que no se haya descubierto. En resumen: una ecuación diferencial jamás podrá describir nada cualitativo}

Análisis histórico-filosófico de lo cualitativo y lo cuantitativo

El término 'cualitativo' es desdeñado por la ciencia. Rutterford decía: 'El acuerdo cualitativo de una teoría y de la experiencia, solo expresa un acuerdo cuantitativo grosero.' {yo diría que es exactamente al revés: lo cuantitativo (la forma, por ejemplo) es solo un 'gesto' de lo cualitativo.}

Veamos el buen ejemplo que da el autor (p#28):

Supongamos que un fenómeno determinado da una curva experimental, como la g de la ecuación  y = g(x). Para explicar el fenómeno, un científico dispone 2 teorías, y cada una de ellas, prevé sendas curvas (g1 y g2), que responde a las ecuaciones: y = g1(x); y = g2(x), respectivamente. Ninguna de estas curvas se adapta bien a la curva experimental. La curva g1 se adapta mejor cuantitativamente, los valores son más próximos. (la integral de la diferencia
∫⎮g - g1⎮dₓ es menor que ∫⎮g - g2⎮dₓ. Sin embargo, la curva g2 tiene la misma forma que g (la describe mejor cualitativamente). Ante esta realidad, el científico, casi seguro, opta por g2, en vez de g1, a pesar del erró cuantitativo mayor, ya que una similitud de la forma, puede significar una mayor aproximación a los mecanismos subyacentes al fenómeno.

{Aunque el ejemplo no demuestra nada, pone de manifiesto que la 'forma' de la curva tiene un valor intrínseco que hay que tener en cuenta, porque puede servir para explicar cualitativamente un fenómeno}

La desconfianza en lo cualitativo tiene un fuerte arraigo histórico. En el S.XVII se desata una fuerte controversia, entre la física de Descartes (que explica todo y no calcula nada), y la física de Newton (que calcula todo y no explica nada). El tiempo dio la razón a Newton, dada su eficacia según el autor, y lo condena a las antiguas teorías cualitativas (de los Presocráticos a Descartes), no es la imposibilidad de suministrar un resultado cuantitativo, sino el carácter ingenuo e impreciso de las imágenes que entran en juego, toas ellas descansan en al intuición del cuerpo sólido en el espacio euclidiano; esto así visto, claramente, resulta insuficiente.

{Con la ayuda de la Topología es posible 'extender' nuestra intuición, y así, lograr representaciones cualitativas satisfactorias de fenómenos parciales. Ahora se puede definir una forma y se puede determinar, si dos funciones tienen o no el mismo tipo topológico, la misma forma; ergo, la misma lógica relacional}

La táctica utilizada de los 'modelos locales', se ve como adecuada a nuestro análisis, pero básicamente, se ve de valor en lo planteado por autor, es que dicho método no entraña ningún prejuicio sobre la naturaleza última de la realidad; aún cuando, la realidad observada se plantea hipercompleja, en la descripción macroscópica (fenoménica), solo entran ciertos aspectos que son los indispensables para evidenciar los parámetros observables del sistema. A diferencia de los propuesto par el autor, aquí sí se intenta la interacción entre lo 'observable' (el fenómeno) y la dinámica subyacente (la razón de ser del sistema) en una sola unidad. Esta unidad, en nuestro caso, es la que muestra una serie finita de patrones universales: 6)

La construcción del modelo (conjunto de catástrofe):

La idea esencial (para no colocar nada matemático que no pueda manejar) es que la naturaleza topológica determinante de la forma (conjunto de catástrofe) está determinada por una dinámica subyacente, que en general, sería imposible explicitar. {que es el mismo fundamento nuestro} La dinámica evolutiva del sistema estará definida {esto es propio} por una emergencia de esa dinámica a través de un cambio de forma; {cambio aparente} o sea, según el autor: morfogénesis. {para mí: morfostasis = un aumento de complejidad (he aquí el cambio aparente) que es netamente cuantitativo, pero conservando la forma. La morfogénesis tiene que ver con lo cualitativo, y es por un cambio oculto o profundo} Propone que a través de estas singularidades {discontinuidades} se puede, uno, remontar a la dinámica que la engendra. {idea de gran valor para nosotros. El estudio de las singularidades (observación), de la morfogénesis de un proceso en las discontinuidades (formas) registradas en la apariencia (superficie) de los fenómenos}

La independencia del sustrato: tal cual lo plantea el autor, la propuesta puramente teórica basada en formas geométricas, independientemente (o casi) de las formas naturales, es difícil de admitir, más cuando la ciencia sobre todo, se funda en aspectos tan concretos que representan la lucha diaria por desentrañar la realidad. Un punto de vista tan general, encuentra objeciones lógicas valederas, pues si todo se restringe a las mismas relaciones, cómo es que la realidad cotidiana nos muestra tremenda diversidad.

El método propuesto 'clasifica' los patrones relacionales universales, y los fenómenos reales globales serían el resultado de la integración topológica, en un número variable, de estos 'granos' (células) reales. Las correlaciones que rigen su aparición durante un proceso dado, están determinadas por la estructura topológica de la dinámica interna (profunda) de cada una de las 'células reales'. Para que esto sea posible; para que esto pueda representar el funcionamiento de una realidad particular, necesariamente, escapa a las 3D, y por tal razón, debe extenderse a las cuatro dimensiones (no más), según lo explica el primer diagrama de esta página.

Esto es trascendente: "Lo propio de toda forma, de toda morfogénesis, consiste en expresarse mediante una discontinuidad de las propiedades del medio." Esto, a modo de comentario: la discontinuidad pone incómodos a los matemáticos, pues todo modelo cuantitativo utilizable, descansa en la utilización de funciones analíticas, por lo tanto, continuas. {¿es realmente así?}

Conclusión: {esta frase parece una broma, ¡De buen gusto!}
"El lector será, por cierto, sensible al sabor eminentemente presocrático de la dinámica cualitativa, aquí propuesta." De Heráclito, lo hice, porque nada podía adaptarse mejor a este género de consideraciones. A decir verdad, todas las intuiciones fundamentales, referentes a la morfogénesis, se encuentran ya en Heráclito. {en realidad, en casi todos los presocráticos} Mi única contribución consiste en haberlas colocado dentro de un marco geométrico y dinámico. "La voz grave y sin disimulos, que como la de Sibila, atravesó sin debilitarse los milenios, merecía sin dudas, este lejano eco..."

¡Nos vemos mañana!