Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 117)
Cuaderno V (páginas 699 a 704)
(Hoy vamos a realizar un pequeño entrenamiento en Lógica Difusa. Trabajo tomado como referencia: “Tutorial on Fuzzy Logic”, J. Jantzen, Technical University of Denmark, 1998)
Conjunto, colección y clase son sinónimos como también, item, elemento y miembro. Hay dos maneras de describir un conjunto: explícitamente en una lista, o implícitamente con un predicado. (A = {0,1,2,3} o æ > 10.
Conjuntos difusos: el grado (ºG) de membresía de todos sus miembros, describe un ‘conjunto difuso’ (CD), y es normalmente un número real entre 0 y 1 que está expresado por μ. μ es una medida precisa, pero subjetiva que depende del contexto. μ ≠ a la distribución de la probabilidad estadística.
Probabilidad vs. Posibilidad: ejemplo: ‘Pedro como χ huevos en el desayuno’, donde
χ ∈ U = {1,2,3…,8}. Podemos asociar una distribución de probabilidad q, mediante la observación del desayuno de Pedro durante 100 días.
U = [1 2 3 4 5 6 7 8]
p = [.1 .8 .1 0 0 0 0 0]
Un conjunto difuso expresa el ºG de facilidad con el cual Pedro puede comer χ huevos, y lo podemos expresar por π (distribución de posibilidad)
U = [1 2 3 4 5 6 7 8]
π = [1 1 1 1 .8 .6 .4 .2]
Donde la posibilidad (π) para χ = 3 es 1, la probabilidad (p) es solo = 0.1.
El ejemplo muestra que un evento posible no implica que sea probable, sin embargo, si este es probable también puede ser posible. Se debe tomar la función de membresía difusa, como una distribución personal, en contraste con la distribución estadística que está basada en observaciones.
Universo: contiene todos los elementos que son tenidos en consideración, aunque depende del contexto. Cuando tenemos que tratar con cantidades no numéricas como por ejemplo: el gusto; no lo podemos medir contra una escala numérica, no podemos utilizar un universo numérico. Se dice entonces que los elementos son tomados desde un ‘continuum psicológico’. Un ejemplo podría ser: {amargo, dulce, agrio, salado, picante,…}.
Función membresía: cualquier elemento en el universo del discurso es un miembro del conjunto difuso en algún grado, que inclusive puede ser 0. El conjunto de elemntos que tienen membresía ‘no cero’ se llama ‘soporte’ del CD. La función que liga un número de cada elemento x del universo se llama: función membresía μ (x).
Representaciones continuas y discretas: la forma continua de μ es una función matemática. Una μ es, por ejemplo, una curva en ‘campana’ (curva π), una curva en forma de s itálica (curva ʃ ), o una curva reversa (curva z); triangular o trapezoidal. En la forma discreta, μ y el universo son puntos discretos en una lista (vector).
Normalización: un CD está ‘normalizado’ si su mayor ºG de membresía es = 1. Se puede normalizar dividiendo cada elemento por el mayor ºG de membresía del conjunto:
a/max(a).
Singleton (¿unicon?): estrictamente hablando un CD A es una colección de pares ordenados
A = {(x, μ(x))}. Un par único (x, μ(x)) se llama: 'singleton difuso'.
Variables lingüísticas: las variables lingüísticas tienen palabras u oraciones como valores. El conjunto de variables es llamado: 'conjunto de términos'. Cada valor de este conjunto es una variable difusa definida sobre una variable base, que define el universo de todas las variables difusas en el conjunto de términos.
variable lingüística → variable difusa → variable base
Ejemplo: variable lingüística = edad
términos: viejo, joven, muy joven, ...; cada término es una variable difusa definida sobre la variable base, la cual puede tener la escala de 0 a 100 años.
Término primario: es un término o un conjunto que ha sido definido a priori, por ejemplo: joven o viejo; mientras que los conjuntos muy joven o no joven son conjuntos modificados.
Operaciones sobre CDs: (figura)
a) A∩B ≣ a min b min: es una comparación mínima, ítem x ítem, entre los ítems correspondientes en a y b. (equivale a una intersección lógica)
b) A∪B ≣ a max b max: es una operación máxima, ítem x ítem. (equivale a una unión lógica)
c) Ā ≣ 1 - a Es el complemento de A.
Un conjunto x es un subconjunto (⊆) del conjunto y: x⊆y, si μ es ≤ a μ de y.
Las tres operaciones primitivas de conjunto.
Modificadores: un modificador lingüístico es una operación que modifica el significado de un término. Ejemplo: 'muy cerca de cero'; el adverbio de cantidad 'muy' modifica a 'cerca de cero', el cual es un CD. Luego, un modificador es una operación sobre un CD. Otros ejemplos: 'un poco', 'más o menos', 'posiblemente', o 'definitivamente'.
Aunque es dificultoso decir precisamente el efecto que tiene el modificador 'muy', sabemos que tiene un efecto intensificador. El modificador 'más o menos' (mom) tiene un efecto contrario. Ellos son frecuentemente aproximados por las siguientes operaciones:
muy a ≣ a²; mom a ≣ √a
Las funciones potencia/radical se aplican a cada elemento del vector, en orden. Pueden usarse cualquier función. Por ejemplo:
U = {0, 20, 40, 60, 80}
joven = [1 0.6 0.1 0 0]; muy joven → joven² = [1 0.36 0.01 0 0]
muy muy joven → joven⁴= [1 0.13 0 0 0]
Los conjuntos derivados heredan el universo del conjunto primario.
Otros ejemplos:
extremadamente a = a³
levemente a = a⅓
algo a = mom a, y no levemente a
El total de las familias de modificadores es generado por: aⁿ, en donde n es una potencia entre 0 e ∞. Con n = ∞ el modificador podría llamarse: exactamente, porque suprimiría todas las membresías menores a 10.
Relaciones entre conjuntos: en cualquier controlador difuso, la relación entre los objetos, juega un rol fundamental. Algunas relaciones conciernen a elementos dentro del mismo universo: una medida es mayor que otra, un evento ocurre antes que otro, un elemento se parece a otro, etc. Otras relaciones conciernen a elementos de universos difuntos. La medida es grande y su velocidad de cambio es positiva, la coordenada x es grande y la y es pequeña.
Formalmente, una relación binario o simplemente una relación R de un conjunto A con un conjunto B, asignan a cada par ordenado: (a,b) ∈ AxB, exactamente uno de los siguientes elementos: 1) "a está relacionado con b", o 2) "a no está relacionado con b". El producto cartesiano AxB es el conjunto de todas las posibles combinaciones de los ítems de A y B. Una relación difusa de un conjunto A y un conjunto B es un subconjunto difuso del producto cartesiano UxV, entre sus respectivos universos U y V.
La regla general para combinar o componer relaciones difusas es tomar el valor difuso mínimo de una 'conexión en serie', y el valor máximo de una 'conexión paralela'. Esto es conveniente hacerlo con un producto interno.
Producto interno: es semejante a un producto (punto) de una matriz ordinaria, excepto que la multiplicación es reemplazada por la intersección (∩), y la suma por la unión (∪). (composición min y max de Zadeh)
Conectivos:
¬ NOT
∧ AND ≣ (conjunción)(intersección)(∩)(.)(min)
∨ OR ≣ (disyunción)(unión)(∪)(+)(max)
⇒ IF THEN ≣ (implicación)(condicional)
⟺ SI Y SOLO SI ≣ (equivalencia)(bicondicional)(≣)
Tablas de verdad: (figura)
Se pueden construir tablas de verdad similares a las que se hacen en la lógica binaria. Si, por ejemplo, comenzamos por definir la negación y la disyunción, luego podemos derivar las otras tablas de verdad. Luego asumimos que negación es definida como un conjunto complemento, esto es, nop ≣ 1 - p; y que la disyunción es equivalente a un conjunto unión, es decir, p ∨ q ≣ p max q. Luego podemos hallar las tablas de verdad para or, nor (no-or), nand (no-and), y and; como las de la figura.
Las tablas de la derecha son la negación de las de la izquierda, y las de abajo son la reflexión a lo largo de la anti-diagnonal (la diagonal ortogonal a la diagonal principal) de las tablas de arriba.
[todos los conceptos analizados en este capítulo serán de singular trascendencia en la futura teoría.]
¡Nos encontramos mañana!
(Hoy vamos a realizar un pequeño entrenamiento en Lógica Difusa. Trabajo tomado como referencia: “Tutorial on Fuzzy Logic”, J. Jantzen, Technical University of Denmark, 1998)
Conjunto, colección y clase son sinónimos como también, item, elemento y miembro. Hay dos maneras de describir un conjunto: explícitamente en una lista, o implícitamente con un predicado. (A = {0,1,2,3} o æ > 10.
Conjuntos difusos: el grado (ºG) de membresía de todos sus miembros, describe un ‘conjunto difuso’ (CD), y es normalmente un número real entre 0 y 1 que está expresado por μ. μ es una medida precisa, pero subjetiva que depende del contexto. μ ≠ a la distribución de la probabilidad estadística.
Probabilidad vs. Posibilidad: ejemplo: ‘Pedro como χ huevos en el desayuno’, donde
χ ∈ U = {1,2,3…,8}. Podemos asociar una distribución de probabilidad q, mediante la observación del desayuno de Pedro durante 100 días.
U = [1 2 3 4 5 6 7 8]
p = [.1 .8 .1 0 0 0 0 0]
Un conjunto difuso expresa el ºG de facilidad con el cual Pedro puede comer χ huevos, y lo podemos expresar por π (distribución de posibilidad)
U = [1 2 3 4 5 6 7 8]
π = [1 1 1 1 .8 .6 .4 .2]
Donde la posibilidad (π) para χ = 3 es 1, la probabilidad (p) es solo = 0.1.
El ejemplo muestra que un evento posible no implica que sea probable, sin embargo, si este es probable también puede ser posible. Se debe tomar la función de membresía difusa, como una distribución personal, en contraste con la distribución estadística que está basada en observaciones.
Universo: contiene todos los elementos que son tenidos en consideración, aunque depende del contexto. Cuando tenemos que tratar con cantidades no numéricas como por ejemplo: el gusto; no lo podemos medir contra una escala numérica, no podemos utilizar un universo numérico. Se dice entonces que los elementos son tomados desde un ‘continuum psicológico’. Un ejemplo podría ser: {amargo, dulce, agrio, salado, picante,…}.
Función membresía: cualquier elemento en el universo del discurso es un miembro del conjunto difuso en algún grado, que inclusive puede ser 0. El conjunto de elemntos que tienen membresía ‘no cero’ se llama ‘soporte’ del CD. La función que liga un número de cada elemento x del universo se llama: función membresía μ (x).
Representaciones continuas y discretas: la forma continua de μ es una función matemática. Una μ es, por ejemplo, una curva en ‘campana’ (curva π), una curva en forma de s itálica (curva ʃ ), o una curva reversa (curva z); triangular o trapezoidal. En la forma discreta, μ y el universo son puntos discretos en una lista (vector).
Normalización: un CD está ‘normalizado’ si su mayor ºG de membresía es = 1. Se puede normalizar dividiendo cada elemento por el mayor ºG de membresía del conjunto:
a/max(a).
Singleton (¿unicon?): estrictamente hablando un CD A es una colección de pares ordenados
A = {(x, μ(x))}. Un par único (x, μ(x)) se llama: 'singleton difuso'.
Variables lingüísticas: las variables lingüísticas tienen palabras u oraciones como valores. El conjunto de variables es llamado: 'conjunto de términos'. Cada valor de este conjunto es una variable difusa definida sobre una variable base, que define el universo de todas las variables difusas en el conjunto de términos.
variable lingüística → variable difusa → variable base
Ejemplo: variable lingüística = edad
términos: viejo, joven, muy joven, ...; cada término es una variable difusa definida sobre la variable base, la cual puede tener la escala de 0 a 100 años.
Término primario: es un término o un conjunto que ha sido definido a priori, por ejemplo: joven o viejo; mientras que los conjuntos muy joven o no joven son conjuntos modificados.
Operaciones sobre CDs: (figura)
a) A∩B ≣ a min b min: es una comparación mínima, ítem x ítem, entre los ítems correspondientes en a y b. (equivale a una intersección lógica)
b) A∪B ≣ a max b max: es una operación máxima, ítem x ítem. (equivale a una unión lógica)
c) Ā ≣ 1 - a Es el complemento de A.
Un conjunto x es un subconjunto (⊆) del conjunto y: x⊆y, si μ es ≤ a μ de y.
Las tres operaciones primitivas de conjunto.
Modificadores: un modificador lingüístico es una operación que modifica el significado de un término. Ejemplo: 'muy cerca de cero'; el adverbio de cantidad 'muy' modifica a 'cerca de cero', el cual es un CD. Luego, un modificador es una operación sobre un CD. Otros ejemplos: 'un poco', 'más o menos', 'posiblemente', o 'definitivamente'.
Aunque es dificultoso decir precisamente el efecto que tiene el modificador 'muy', sabemos que tiene un efecto intensificador. El modificador 'más o menos' (mom) tiene un efecto contrario. Ellos son frecuentemente aproximados por las siguientes operaciones:
muy a ≣ a²; mom a ≣ √a
Las funciones potencia/radical se aplican a cada elemento del vector, en orden. Pueden usarse cualquier función. Por ejemplo:
U = {0, 20, 40, 60, 80}
joven = [1 0.6 0.1 0 0]; muy joven → joven² = [1 0.36 0.01 0 0]
muy muy joven → joven⁴= [1 0.13 0 0 0]
Los conjuntos derivados heredan el universo del conjunto primario.
Otros ejemplos:
extremadamente a = a³
levemente a = a⅓
algo a = mom a, y no levemente a
El total de las familias de modificadores es generado por: aⁿ, en donde n es una potencia entre 0 e ∞. Con n = ∞ el modificador podría llamarse: exactamente, porque suprimiría todas las membresías menores a 10.
Relaciones entre conjuntos: en cualquier controlador difuso, la relación entre los objetos, juega un rol fundamental. Algunas relaciones conciernen a elementos dentro del mismo universo: una medida es mayor que otra, un evento ocurre antes que otro, un elemento se parece a otro, etc. Otras relaciones conciernen a elementos de universos difuntos. La medida es grande y su velocidad de cambio es positiva, la coordenada x es grande y la y es pequeña.
Formalmente, una relación binario o simplemente una relación R de un conjunto A con un conjunto B, asignan a cada par ordenado: (a,b) ∈ AxB, exactamente uno de los siguientes elementos: 1) "a está relacionado con b", o 2) "a no está relacionado con b". El producto cartesiano AxB es el conjunto de todas las posibles combinaciones de los ítems de A y B. Una relación difusa de un conjunto A y un conjunto B es un subconjunto difuso del producto cartesiano UxV, entre sus respectivos universos U y V.
La regla general para combinar o componer relaciones difusas es tomar el valor difuso mínimo de una 'conexión en serie', y el valor máximo de una 'conexión paralela'. Esto es conveniente hacerlo con un producto interno.
Producto interno: es semejante a un producto (punto) de una matriz ordinaria, excepto que la multiplicación es reemplazada por la intersección (∩), y la suma por la unión (∪). (composición min y max de Zadeh)
Conectivos:
¬ NOT
∧ AND ≣ (conjunción)(intersección)(∩)(.)(min)
∨ OR ≣ (disyunción)(unión)(∪)(+)(max)
⇒ IF THEN ≣ (implicación)(condicional)
⟺ SI Y SOLO SI ≣ (equivalencia)(bicondicional)(≣)
Tablas de verdad: (figura)
Las tablas de la derecha son la negación de las de la izquierda, y las de abajo son la reflexión a lo largo de la anti-diagnonal (la diagonal ortogonal a la diagonal principal) de las tablas de arriba.
[todos los conceptos analizados en este capítulo serán de singular trascendencia en la futura teoría.]
¡Nos encontramos mañana!