diciembre 29, 2013

Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 78)

Cuaderno IV (páginas 465 a 470)

(Continuamos con Lógica Difusa)

Revisión de Lógica Difusa, Teoría de Conjuntos y Sistemas: una afirmación S reclama un valor verdadero t(S). Luego, la verdad define un mapeo de un conjunto de afirmaciones en un conjunto de valores verdaderos: t{afirmaciones}→{valores verdaderos}. La verdad clásica o aristotélica solo permite dos valores: verdadero y falso, o 1 y 0; t{afirmaciones}→{0,1}. Un mapa lógico n-valorado en n valores verdaderos. Un mapa lógico común trivaluado (de 3 valores) establece: verdad, falsedad, y un punto medio: t{afirmaciones}→{0, ½, 1}. Un mapa lógico continuo establece un intervalo-unidad: t{afirmaciones}→{0,1}. Todas estas lógicas son lógicas difusas en incluyen la lógica clásica, como un caso especial.

Funciones verdaderas dan la verdad de afirmaciones compuesta en términos de verdad de sus afirmaciones componentes.

t(AANDB) = min(t(A), t(B))
t(AORB) = max(t(A), t(B))
t(notA) = 1 - t(A)

Supongamos t(cesped es verde) = 0.8, y t(nieve es blanca) = 0.9.
Luego:
t(cesped es verde AND nieve es blanca) = 0.8
t(cesped es verde OR nieve es blanca) = 0.9
t(cesped no es verde) = 0.2
t(nieve no es blanca) = 0.1
t(nieve es blanca OR no blanca) = 0.9

La función verdadera para la implicación puede tener varias formas. La forma de Lukasiewicz viene del intervalo de verdad: t(A) - t(B), y es más común: tL(A→B) = min(1,1 - t(A) + t(B)).
Las afirmaciones A y B son lógicamente equivalentes , o A = B, si y solo si, A implica B y B implica A. Por tanto, dos afirmaciones difusas A y B son 100% equivalentes, si y solo si, tienen los mismos valores verdaderos: t(A) = t(B).

Ahora consideremos la paradoja de Russell: ella concluye con dos implicaciones de la forma: A→noA, y noA→A. Por tanto, A y noA son lógicamente equivalentes: A = noA. Luego, ellos tienen los mismos valores verdaderos:

t(A) = t(noA)
t(noA) = 1 - t(A)

Luego, la lógica bivalente conduce a las contradicciones: 1 = 0, o 0 = 1. Nótese que este argumento no asume la forma de doble implicación o equivalencia. Ella se usa solo en orden inverso o negación. No hay razón lógica para insistir en que, tanto t(A) = 0, o t(A) = 1, deban manejarse para todas las afirmaciones A. No obstante ello, podemos darle una estructura a la paradoja que nos diga su 'propia historia', y solucione la ecuación: t(A) = 1 - t(A), para el valor verdadero 'paradójico' t(A). El resultado es el punto medio de un hipercubo difuso 1D[0,1]: t(A) =  ½.

Grim ha mostrado que podemos ver la paradoja de Russell, y otras paradojas 'mentirosas', como un sistema dinámico discreto de valores verdaderos, que cambian con n:

t(Sn + 1) = 1 - t(Sn)

El caso binario da una secuencia oscilante V, F, V, F, V, F, ...; o 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...; donde los valores verdaderos alternan hacia atrás y hacia adelante, como un tipo de 'diálogo' con una 'mentira' autoreferencial. El valor del punto medio verdadero (½), da solo el punto 'atractor' fijo del sistema dinámico. El operador de igualdad de Lukasiewicz, también conduce a un 'sistema dinámico mentiroso'

Sistema dinámico mentiroso:

t(Sn + 1) = 1 - ┃(1 - t(Sn)) - t(Sn))┃

Para modelar tal afirmación autoreferencial como: "esta sentencia es verdadera, si y solo si, ella es falsa", o "esta sentencia en tan verdadera como falsa". Aquí, el espacio de estado es un hipercubo 2D o [0,1]². Los gráficos de las trayectorias del hipercubo 2D muestran que la 'mentira' cae dentro de un 'atractor caótico'.

La función cuadrática puede modelar el adjetivo 'mucho', en Lógica Difusa, y conducir a un sistema dinámico.

t(Sn + 1) = (1 - ┃(1 - t(Sn)) - t(Sn)┃)²    para modelar afirmaciones como: "esta sentencia es 'muy verdadera', si y solo si, ella es falsa". La paradoja dualista:

Sócrates: "Lo que dice Platón es verdad".
Platón: "Sócrates miente"

Permite construir un sistema discreto dinámico 2D no lineal, con las siguientes ecuaciones de estado:

t(S+ 1) = 1 - ┃t(Sn) - t (Un)┃
t(Un + 1) = 1 - ┃t(Un) - 1 - t(Sn))²┃

Aquí, el punto medio del hipercubo 2D, no actúa como el punto fijo atractor del caso 1D.

Un conjunto A contine un objeto x en un grado a(x):

a(x) = Grado(x ∈ A)

El mapa {patrón} a:x → {Grado de membresía} es un conjunto función, o una función membresía. Un conjunto A clásico o bivalente tiene un conjunto función binario a:x → [0,1], que mapea todos los objetos x como 1 o 0; o 'incluido' o 'excluido'.

            ⎧ 1 si x ∈ A
a(x) = ⎨
            ⎩ 0 si x ∉ A

Un conjunto multivaluado o 'vago' o 'difuso' tiene un conjunto función que mapea 3 o más valores adecuados o unidades difusas. Aquí tenemos un rango de valores adecuados, como el continuo de un hipercubo unidad 1D: a:x → [0,1].

El grado de adecuación de cada objeto x en un conjunto A actúa como una afirmación de una verdad multivaluada: a(x) = t(x ∈ A). Podemos verlo también como el valor de una probabilidad condicional: a(x) = prob (x ∈ A/X = x).

Supongamos que A ⊂ R es un conjunto de temperaturas frescas del aire. Una mirada difusa muestra A como un 'locus' de valores adecuados. El término X = A dice: "la temperatura es fresca", o la variable difusa X contiene el conjunto difuso de valores A. El valor adecuado a(x) podría decir: "El valor de temperatura 68ºF (20ºC) es fresco en un grado a(x)". En una vista probabilística a(x) dice: "la probabilidad de que el aire sea fresco es a(x), dado que la temperatura es xºF, o dado que X = x". Una vista probabilística muestra A, no como un conjunto, sino como un 'locus' de 2 puntos de densidad condicional.

Las funciones verdaderas difusas definen un conjunto de operaciones difusas como un conjunto de funciones. Supongamos que X es un espacio base que contiene los subconjuntos difusos A y B. Luego:

aᶜ(x) = 1 - a(x)
∩ b(x) = min(a(x), b(x))
a ∪ b(x) = max(a(x), b(x))

Un conjunto A ⊂ X es difuso, si y solo si, él rompe la ley de no contradicción: A ∩ Aᶜ ≠ ∅, y la ley del medio excluido {o tercero excluido, o tertium non datur}: A ∪ Aᶜ ≠ X. Un conjunto es bivalente si la igualdad se da en ambos conjuntos de relaciones (A ∩ Aᶜ ≠ ∅, A ∪ Aᶜ ≠ X).

Supongamos que el espacio X contiene n objetos xi: X {x1, ... , xn}. Luego, el conjunto exponencial 2ᵡ contiene 2ⁿ conjuntos bivalentes. El conjunto exponencial 2ᵡ contiene todos los subconjuntos de X; es isomórfico con respecto al n-cubo booleano: 2ᵡ = [0,1]. Cada conjunto no difuso define un vector de bits (1s. y 0s.) de largo n. Los dos extremos del vector de bits sonX en sí mismo y el conjunto vacío: X = (1, ... , 1), y ∅ = (0, ... , 0). Estos 2ⁿ conjuntos bivalentes descansan en los vértices de un n-cubos difuso o hipercubo unidad Iⁿ = [0,1].

Los conjuntos difusos ⊂ X llenan el hipercubo unidad. El conjunto exponencial F(2ᵡ) es el conjunto no difuso de todos los conjuntos difusos ⊂ X. Este es isomorfo con el hipercubo unidad F(2ᵡ) = I. Desde el punto de vista geométrico los conjuntos difusos son puntos de un cubo difuso y define los vectores adecuados A = (a(x1), ... , a(xn)) = (a1, ... , an). El punto medio del cubo M = (½, ... , ½) es el único conjunto equidistante de todos los 2ⁿ vértices o vectores de bits.

El punto medio del cubo es también único, en que no hay otro que viole en forma máxima, las leyes de no contradicción y del tercero excluido [ya se verá mucho más adelante que tal violación no es completa, por eso, las lógicas multivaluadas, incluida la difusa que posee infinitos valores de verdad, siguen respondiendo, en alguna medida, a la lógica binaria y aristotélica], A = A ∩ Aᶜ = A ∪ Aᶜ = A, cuando min y max definen el punto de intersección y unión respectivamente. [En una verdadera lógica no aristotélica, como la Lógica Transcursiva, el punto de intersección y de unión se relacionan a través de la relación sujeto → objeto.]

[continuará ...]

¡Nos vemos mañana!