diciembre 31, 2013

Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 80)

Cuaderno IV (páginas 477 a 482)

(Continuamos con Lógica Difusa)

Conjuntos difusos como puntos en Hipercubos - Grados de pertenencia a un subconjunto:

La multivalencia o 'borrosidad' se establece en conjuntos y entre conjuntos. La borrosidad en un conjunto define la 'elementariedad' o el grado ai en que un elemento xi pertenece al conjunto:
A:ai = grado(xi∈A).

Un conjunto estándar o bivalente o no-difuso A, contiene elementos 'todo o nada'. El valor del conjunto o grado de membresía ai es 1 o 0, presente o ausente, dentro o fuera. Un conjunto multivalente contiene elementos en distintos grados. Por tanto ai toma valores en el intervalo unidad [0,1]. Black llamó a esta multivalencia: 'vaguedad' e introduce los conjunto 'vagos' o 'listas vagas'. Zadeh llama a estos conjuntos: 'difusos', y construyó su álgebra. La borrosidad entre los conjuntos define el grado S(A, B) en el que el conjunto A pertenece o es un subconjunto del conjunto B:

S(A, B) = grado (A⊂B)

Los conjuntos A y B no necesitan ser difusos. Si un conjunto difuso A contiene un elemento xi en un grado ai, luego: S({xi}, A) = ai. Por tanto la 'subconjuntez' subsume la 'elementariedad'. En el pasado el operador de subconjuntez S era definido como un operador bivalente, tanto en la teoría de conjuntos difusos, como en la de los conjuntos no-difusos: S(A, B) = 0,1. El operador de subconjuntez multivaluado asume los valores: 0 < S(A, B) < 1. El operador de subconjuntez surge de la extensión única lᵖ del teorema de Pitágoras en n dimensiones:


║A - B║ᵖ = ║A - B⃰║ᵖ + ║B⃰ - B║ᵖ

Supongamos que un conjunto o espacio X es finito con X = {x1, ... , xn}. Luego, los 2ⁿ conjuntos no-difusos de X son maleados en los 2ⁿ vectores de bits de largo n. Este mapa es volcado en los 2ⁿ vértices del hipercubo unidad Iⁿ . Esto iguala un conjunto con un punto en una n-malla (o retícula) booleana. También podemos ver los subconjuntos difusos de X como n-vectores con componentes en [0,1]. Luego, cada vector componente ai del conjunto difuso A = (a1, ... , an), define una unidad difusa o 'adecuada', y A define un vector adecuado. El conjunto función: a:X → [0,1] define los n valores adecuados: a(x1), ... , a(xn) para un espacio finito X, y da el vector adecuado: A = (a1, ... , an) para ai = a(xi). El valor adecuado ai mide el grado en el cual el elemento xi pertenece a, o 'encaja' en el conjunto A. Esto identifica A con un punto sobre, o en hipercubo unidad Iⁿ.

Los conjuntos difusos rellenan el n-cubo booleano dando un hipercubo sólido I. El punto medio del cubo unidad es el vector adecuado o encaje F = (½, ... , ½), donde cada elemento xi pertenece a F como cada uno pertenece a su complemento Fᶜ. El conjunto usual de operaciones son aplicadas al vector de encaje, tal cual las propuso Zadeh, para el conjunto de funciones difusas: 

A∩B = (min(a1, b1), ... , min (an, bn))
A∪B = (max(a1, b1), ... , max (an, bn))
A= (1 - a1, ... , 1 - an)

Supongamos A = (⅓ ¾), y B = (½ ⅓). Luego:


A∩B = (⅓ ⅓)

                          AA= (⅓ ¼)
A∪B = (¾ ½)
                          AAᶜ = (⅔ ¾)
Aᶜ = (⅔ ¼)

Nótese que AAᶜ ≠ ∅, y AAᶜ ≠ X, para todos los conjuntos difusos de A. Las leyes bivalentes (aristotélicas) de no contradicción y del tercero excluido no se pueden seguir manejando. Ellas se establecen solo en algún grado. Ellas solo tienen plena vigencia (100%), para los vectores de bits en los vértices del cubo. Tienen una vigencia nula (0%) en el punto medio del cubo, en donde A = A. Ellas se establecen en cierto grado para los vectores adecuados entre estos extremos. 

[Esto es una falacia, como ya veremos. Es un argumento falso que pretende enmascarar el sustento binario que tiene la lógica difusa, ya que el principio del tercero excluido nunca se deja de cumplir, en algún grado. Que A sea igual a su complementario no indica que hay lugar para un tercer elemento, es decir, A, noA y una posibilidad intermedia; sino todo lo contrario, se acentúa uno de los principios fundamentales de la lógica aristotélica: el principio de identidad: todo objeto o cosa o elemento es idéntico a sí mismo: A = A, luego A = A]

Mapas diferenciales entre espacios reales y cubos difusos:


Los cubos difusos hacen un maleo 'suave' sobre espacios reales extendidos de la misma dimensión y viceversa. El límite infinito 2ⁿ  de un espacio real extendido [-∞, ∞] es maleado en los 2ⁿ  vértices de un cubo difuso I. El origen real 0 se mapea en el punto medio del cubo. Cada punto real x mapea un único conjunto difuso.


Un diferencio-morfismo como el de la fórmula superior de la figura es un mapa diferenciable  uno a uno con un diferenciable inverso ⨍⁻ⁱ, según lo muestra la expresión inferior de la figura. Luego, cada número real es una unidad de información. O sea, el logaritmo (ln) es una medida escalar de la 'borrosidad'. La suma y el conteo son las operaciones matemáticas más básicas. De la misma forma de operación básica en el espacio difuso, el mapa de entropía H, asigna un número real a cada conjunto difuso. Esta igualdad puede parecer extraña ya que hemos usado un hipercubo unidad como un espacio difuso con su propio conjunto de álgebra y geometría. Las proyecciones diferencio-mapas, o en algunos casos, la proyección homeomorfa laxa, puede ayudar a mostrar una estructura  difusa de operaciones y algoritmos reales. La entropía difusa común se conecta con la teoría de la información de Shannon. {impropiamente llamada de la información, ya que solo aporta elementos para estudiar la comunicación, pero no la información que se comunica}

Esta conexión es un 'puente' entre la teoría difusa y la teoría estándar de la información [yo diría que es dudosa esta conexión; o por lo menos, no es todo lo que se pretende de ella.], basada en la probabilidad y la lógica binaria. Esto sugiere que un 'campo de información' puede tener tanto contenido físico, como computacional. [a esto me refería, precisamente, más arriba; se pretende legalizar algo que a todas luces no tiene ningún sustento lógico] Los campos de información ya no se van a ver como simples abstracciones simbólicas. [justamente es lo que son y ¡nada más! La teoría final demostrará esto sin lugar a dudas]

El cubo difuso puede extenderse a otras operaciones y algoritmos en la teoría de la información. [¡con los consabidos errores! dada la exagerada generalización sine materia que se utiliza] El teorema de aproximación difusa, convierte sistemas mensurables o continuos, en un número finito de 'parches' difusos o puntos en grandes cubos difusos. El cubo contiene tanto la posibilidad simple que describe canales de transmisión, como el cubo booleano que describe todos los mensajes binarios de un largo fijo. Un algoritmo se puede mover a través del cubo, desde los vértices binarios, a otros vértices binarios distantes, más que saltar como un código 'gris', desde un vértice a otro vértice local, en cubos de gran dimensión. Podemos ver también, los mensajes como 'globos o bolas de entropía' o de 'difusidad', en un cubo. El diámetro de los 'globos' cae de acuerdo a cómo el centro de los 'globos' se mueven desde el centro 'vago' hacia los vértices 'claros' o 'definidos'. Los diferencio-mapas pueden mapear mensajes o sistemas reales en 'globos señales' o de ruido que se solapan en un cubo difuso. [caemos en lo mismo, del contenido del mensaje, ¡ni noticia!]



En un nuevo intento de sistematización, se muestra en la figura siguiente, la evolución estructural de un psicocito, utilizando diagramas similares a los de Hasse {una representación gráfica simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito, aunque no se admite la clausura transitiva que estos presentan y que está representada por sus aristas} 



Se ve en la figura cómo se evoluciona desde un hipercubo 1D hasta un hipercubo 3D, pero se termina en un cubo (3D) en donde sus vértices maneja información como si fuera 6D.
Con la premisa anterior y utilizando algún elemento de la Lógica Difusa, podemos ver en la figura anterior, cómo quedan definidos una serie de planos, considerando las diagonales mayores (de los complementarios) de un 6D-cubo, que pasamos a detallar.
⏀M = contacto con la realidad - controla el estado de consciencia y la atención, operando sobre las salidas (regulación de la motilidad) ≅ Yo.
AsSe = relación sujeto-objeto/interno-externo
AdiSb = identificación: ºG de membresía - simbolización - ¿eje semántico? - ¿eje mental? (generalización).
AdeOs = proyección - valencia - control inconsciente (¿Ello?) - relación cuali-cuantitativa - eje núcleo celular: ¿SuperYó-Ello?

Planos 2D (de las diagonales):
⏀AsMSe = plano vivencial (vivencia) → represión (⏀MAsSe)
SbAdeAdiOs = (SbAdiAdeOs) ¿plano existencial?
⏀MAdiSb = plano subjetivo
SeAsAdeOs = ¿plano social?

Ejes:
⏀As = de la realidad (estructura)
⏀Os = de las ideas (dinámico)
⏀Sb = de los pensamientos (funcional)

AdiAdeSe = ¡plano de la realidad!





En la figura  anterior se puede ver el pasaje (activación) de un 3D-cubo (la apariencia o realidad externa) a un 6D-cubo (realidad interna). Debajo los bucles operativos en cada caso.

¡Nos vemos el año que viene! ¡Felicidades!