mayo 04, 2014

Historia de la Lógica Transcursiva (Capítulo 204)

Cuaderno IX (páginas 1225 a 1230)

(En este capítulo se reafirma el concepto de grupo, desde las Matemáticas Discretas [Las matemáticas discretas son un área de las matemáticas encargada del estudio de los conjuntos discretos: finitos o infinitos numerales. Un capítulo importante, en esta disciplina, es la Teoría de Grafos, que está muy relacionada con el concepto de grupo.]; y las transformaciones desde la Topología. [La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.]

AMPLIACIÓN - Conceptos Matemáticos (de "Matemáticas Discreta y Combinatoria" - Grimaldi)

p#777 - Grupos: si G es un conjunto no vacío, y º es una operación binaria en G, entonces (G,º) es un grupo, si cumple las siguientes condiciones:
1) Para todos a, b, ∈ G, a º b ∈ G (G es cerrado mediante º)
2) Para toda a, b, c ∈ G, a º (b º c) = (a º b) º c (Propiedad asociativa)
3) Existe e ∈ G, tal que a º e = e º a = a, para todo a ∈ G (Existencia de un elemento unidad o neutro)
4) Para cada a ∈ G, existe un elemento b ∈ G, tal que a º b = b º a = e (existencia de inversos)

Si además, a º b = b º a para todos a, b ∈ G es un grupo conmutativo o abeliano.

Para cualquier grupo G:
a) El neutro de G es único
b) El inverso de cada elemento de G es único
c) Si a, b, c ∈ G y ab = ac, ∴ b = c (Propiedad cancelativa por la izquierda)
d) Si a, b, c ∈ G y ba = ca, ∴ b = c (Propiedad cancelativa por la derecha)


El de la figura es un grupo no abeliano, y coincide absolutamente con lo nuestro. Las distintas variantes se conocen como 'movimientos rígidos del triángulo' {para nosotros son 'discretos'}. Son movimientos bidimensionales que conservan fijo el centro (Ͽ), preservan la forma del triángulo.

¡SE ME ACABA DE OCURRIR!

Partimos del triángulo básico dextrógiro, en este caso, SVO.
Si trazamos las bisectrices de cada ángulo, cortamos, como es obvio, al lado opuesto de cada ángulo, en dos segmentos iguales, dando un total de 6 segmentos.
Los ejes así trazados determinan un centro geométrico, que se transformará en el '0' del sistema de ejes así constituidos.
Este sistema hexaxial (cada eje está separado del que le sigue, por un ángulo de 60º → 360º/6), tiene, como todo sistema de referencia cartesiano, un hemisegmento (+) y otro (-)
Si unimos los extremos de todos los ejes, con sendos segmentos, obtenemos un hexágono (en última instancia, el triángulo se obtiene a través de la proyección de los vértices de un hexágono).
Queda así constituido, lo que en Topología Algebraica se denomina un 'complejo celular' (que son espacios que pueden construirse mediante un proceso finito de adjunción de celdas).

Partimos de un triángulo que tiene identificados sus vértices con SVO. Esta figura constituye un grupo, o sea (topológicamente hablando), un conjunto G, con una operación binaria asociada (XOR). {cumple con todas las características del grupo, enumeradas en el capítulo anterior: la operación binaria es asociativa, existe un elemento neutro (⊽), y existe un elemento inverso de S = O}.

Este grupo puede ser sometido a transformaciones, como por ejemplo, hacerlo girar tomando como eje el '0' (el centro), existiendo una permutación resultante de sus vértices, dando origen a 6 de éstas, en total. (tres dextrógiras y tres levógiras, como ya hemos visto en repetidas ovaciones). Esto caracteriza los llamados 'movimiento rígidos', pues responden a una función discreta.

Si asimilamos cada uno de los lados del hexágono, antes logrado, a un 'arco' que parametrizamos como: S1, S2, O1, O2, V1 y V2, respectivamente; vemos que la unión de los arcos con la misma denominación, corresponden al extremo (-) del eje respectivo. Si, S (por ejemplo) corresponde a +1, el otro extremo corresponde a -1. Por tanto, si el extremo positivo es S¹ = S, el extremo negativo es S⁻¹ = 0. Lo mismo ocurre con O, cuyo extremo negativo es S. Con V sucede algo similar, y por lo tanto, su extremo no será su opuesto, pues este es el elemento neutro, sino su negación (que a los fines numéricos es lo mismo) → ⊽.

Si adjuntamos ambos arcos reunidos en un vértice (-), con sus extremos libres unidos en (0), obtenemos una función continua, en forma de pétalo. Si hacemos lo mismo con los otros dos, y al corresponder todos sus extremos con el punto '0', se pueden unir en una única aplicación continua, en forma de 'trifolio'.

Lo que acabamos de lograr se conoce como 'invariante topológico', ya que sus propiedades, como espacio topológico, permanecen constantes, al aplicársele un homeomorfismo [En topología, un homeomorfismo (del griego ὅμοιος (homoios) = misma y μορφή (morphē) = forma) es una biyección entre dos espacios topológicos por una aplicación biyectiva que es continua y cuya inversa es continua. En este caso, los dos espacios topológicos se dicen homeomorfos. Las propiedades de estos espacios que se conservan bajo homeomorfismos se denominan propiedades topológicas.]; o sea, una deformación que mantiene una equivalencia entre el espacio topológico inicial y el final, se conservan las propiedades topológicas. Aquí, como se puede ver, el segundo espacio topológico se logra mediante la negación del primero, y esto resulta de cambiar la operación binaria asociada (XOR) al conjunto inicial, por su opuesta, esto es, equivalencia (≣).

De esta manera, SVO  se transforma en O⊽S, su equivalente. Ahora, no solo cambió su disposición espacial, sino que, el nuevo grupo obtenido (complementario), produce un ciclado de los vértices, pero en forma continua, y no discreta como en el anterior (triángulo); y por otro lado, gira en sentido opuesto. Ahora, el grupo es un grupo complejo que constituye un 'ensamble' resuelto con un conjunto de 4 elementos: S, V, O, ⊽, que conforman un sistema complejo, ya que sus elementos guardan una triple relación: son opuestos (uno es la negación del otro), son complementarios (giran en sentido opuesto), y son concurrentes (están presentes al mismo tiempo).


En la figura anterior podemos ver la relación entre la negación transclásica (mediada) que opera tanto en lo discreto como en lo continuo (que podríamos desde ya, nombrar como superficial y profundo, respectivamente), y la negación clásica que permite cambiar de un nivel a otro. [debemos tener en cuenta que, en la figura anterior hay un error conceptual, porque la negación clásica (NEGC), solo sirve para pasar de XOR a ≣, pero una vez que estamos en este último nivel, sigue vigente la negación transclásica (NEGTC). Lo que sí es cierto, es que la ≣ es la negación clásica de XOR, pero eso es otra cosa]

¡Nos vemos mañana!